【精品】研究群的子群的乘积的阶

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1、■）京必氏姝乂粵■■■Nart/iumZJntwrsrtyforEattoHcilitws《近世代救》课程论文斫究髀的&屛的乘张輪阶郭庆第昌？P111713313碍2011级数学与应用数学数学与计算机科学学院西北氏族大学数学与计算机科学学院研究群的子群的乘积的阶P111713313郭庆数学与应用数学内容摘要：通过对群的子群的乘积的探究，明白子群的乘积的阶和子群的阶的关系。近世代数以具有代数运算“乘法”的集合作为主要的研究对象，研究的主要是抽象代数系统的性质与结构。而群论是近世代数的一个重要的分支，因此群论中的许多思想方法有着重要的意义，在很多领域中有着广泛的应用，

2、可以帮助我们解决一些复杂的问题，更好的理解群的概念，以及群的阶的概念。我们知道，群的子群的乘积需满足一定条件时，才可确定它是子群。那么子群的阶的乘积和子群的乘积的阶又满足怎样的关系？这次我们将探讨。当然,除非特殊说明，本文“乘法”还是指的群中满足的代数运算。关键字：群、子群、子群的乘积、子群的阶陪集和指数是两个重要概念，他们通过拉格朗日定理相联系，具有十分微妙的关系。首先，我们看群的阶是如何定义的：如果一个有限群G中所包含的元素个数为n,则称n为群G的血,并记为

3、G

4、=no无限群的阶称为无限，被认为是大于任意的正整数。其实群的阶就是指群中元素的个数，利用是否属于同

5、一左陪集可将群中元素分成若干甚至无限类，且每一类中元素个数相同。下面我们来看。定义：设H是群G的一个子集，acGo则称群G的子集aH={ax

6、xeH}为群G关于子群H的一个左陪集。而称Ha={xa

7、xeH}为群G关于子群H的一个右陪集。显然，当G为交换群时，左陪集和右陪集相等。这是一个特殊情况。须注意，这里说的是左陪集，也就是子集而非子群，须满足一定条件才可将子集改为子群。这在下面还将作进一步讨论。很显然，左陪集满足如下性质。H是子群，eeH,1.aeaH证明:a=aeeaH2.aHfH二H证明：设aH二H。则由1知，a^aH,所以涉乩设亦氏任取axeaH,因为H

8、为子群，所以axeH,即aH^Ho同样,任取x^H,又亦乩贝(Jx=ex=—"，*=a(a-lx)eaH,即HGaH。3.b亡aHaH=bH证明：设aH二bH,由1得b^bH,所以b^aHo设beaH,令b=ax(x±H)。xeH,由2得xH=H,则axH=aH,即bH=aHo4.aH=bH,即a与b同在一个左陪集中o(或尸a^H)。证明：设aH=bH,则即H=^bH,则由2得才％朗。同理，可得讯亦H。设"b±H,则由2得H=『bH,即haH"bH,即aH二bH・1.3与4结合则可得，b壬aH令aH=bH«旷％壬H（或壬H）即传递性。2.若aHQbHH©,则aH=

9、bHo证明：设c^aH,且c^bH,则由3得cH二bH二aH。这样就得到G关于H的任二左陪集要么相等，要么交集为空。从而G按照左陪集可分解为G二aHUbHUcHU当然，对于右陪集也有相应性质。这里不作赘述。G的左陪集和右陪集满足怎样关系呢？我们看：H是G的一个子群，令L={aH

10、aeG},R二{Ha

11、亦G}。则L和R之间存在一个双射，从而左、右陪集的个数都无限或个数相等。证明：L和R之间建立映射：aH^H^o如果aH=bH,则由4得"b±H,即“炉尸引，从而H^=H*_lo同理，由Ha二Hb可得二戸H。卩为双向单射，这样就得卩为一个双射。即左陪集与右陪集一一对应，

12、个数相等。所以由G二aHUbHUcHU……可立即得到G二H"UH/；-1UHc-1U……揭数指数是指一个群G关于它的一个子群H互异的左（或右）陪集个数，称为H在G中的指数，记作（G：H）o下面我们来看一个非常重要的定理，即拉梅朗日定理。H是有限群G的一个子群，则丨G丨=

13、H

14、（G：H）,即（G：H）=熙・从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。IHI证明：令（G：H）=s，且G=aAHJa2H

15、=

16、丨。于是有a}H=a2H=・

17、・・=asH=Ho因此由（1）知，

18、G

19、=

20、H

21、•S,即由此定理可得一个推论，我们把它称为推论1:这里要补充一下淀豪的阶的概念:设a为群G的一个元素，使an=e的最小正整数n叫做元素a的阶。现在来证推论1o证明：设a是有限群G的一个n阶元素，则H={e,a,…，a,l'[}是G的一个n阶子群，故由拉ttSIB定理知，nIG

22、o得证。接着，我们可得到，如果丨G

23、为素数，则由n丨丨G丨可得,IGI=n,当然，这里n也一定是素数。则可知：素数阶群必为循环群。设a为群G的一个元素，使an=e的最小正整数n叫做元素a的阶。现在来证推论1o证明：设a是有限群G的一个n

24、阶元素，则