对一道课例题的探究性设计

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1、对一道课本例题的探究性设计奋斗中学董世平2007年2月对一道课本例题的探究性设计例题：(课本75页例2)已知圆的方程是+r=求经过圆上一点儿)的切线/的方程.一、对该题解法的探究提出问题：求解该题有哪些方法？(探究)解法一：如图，设切线斜率为比，半径0M的斜率为/V/丄0M•Ik=--—而人=d&兀（）:.k=-^儿・：I的方程为y-yQ=-—(x-x0)化简xox+yoy=r2(*))Jo特别地当R不存在时，/的方程为x=x()，代入(*)式也成立.I的方程为xQx+yQy=r2(解法二)设切线/上任一点N(x,y)贝IJWV-OM=O=>xox+yoy=r2对比解法一和解法二，可得向

2、量法优于斜率法，更具有一般性.二、对该题推广的探究提出问题:若点Mg儿）是圆O：%2+y2=r2外一点，那么直线I-心兀+y°y=厂2与圆x2+/=r2的位置关系是—,若点M（兀o，儿）是圆x2+y2=r2内一点，那么直-xQx+yQy=r2与圆O：戏+尸=厂2的位置关系是_.能否将结论推广到圆(x-6Z)2+(y-/?)2=r2呢?（探究）•••圆x2+y2r2的圆心0（0,0）到直线兀。兀+川=厂$的距离dr2若Mg,儿）在圆外，则并+朮""济r‘从而直线'与圆。相交•若Mg，儿）在圆内，则总+于。2・•・直线/与圆0和离.结论：一般地，已知圆C:（x-a）2+（y-/?）2=r2-

3、若⑷心，儿）在圆上，则切线方程为(兀。_a)(x-d)+(yo一b)(y—b)=厂2.若M(兀°,儿)在圆外，则直线/:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2与圆C相交.若M（x（）,儿）在圆内，则直线/:(兀0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=厂?与圆C相离.（证明略）.提出问题：圆与椭圆有许多相似的性质，以上结论能否推广到椭圆呢?22（探究1）已知椭圆C:—+—=1（a>b>0）.Mg,儿）是椭圆上一er方一点.则直线/:屿+琴=1一定与该椭圆相切吗?crb解：当），0工。时，22存=1求导数得:a_/r992x2yy八xyyM-b~p+^-=O=p+冷=0f=

4、一一r-卅b2a2b2a2y又T切线/的斜率k=y'x=x{}=-厶•—儿•:切线/的方程为:y-yQ=k(x-xQ)即r宀务2（r）22且儿）在于計上・・・/方程为辱+1/h2当y（）=0时，xQ=±a9直线方程为x=±a与椭圆也相切.9?故直线八辱+埠=1与椭圆^+4=1相切.a?b2a2h2（探究二）若Mg,儿）在椭圆外，贝IJ直线罟+辱=［与椭圆C相交吗？crb~若Mg,儿）在椭圆内，贝IJ直线罟+卑=1与该椭圆C和离a"b_吗？(可用参数法)分析：设直线/与椭圆交点N(acos&,bsin0),若N点、存在且有两个，贝叭与椭圆C相交•若N不存在，贝I”与椭圆C相离.解：设直线/

5、与椭圆交点为N(acos&,bsin0),处(0,2兀)则代入直线/的方程为：竺警+如響二1crb"—cos^+―sin^=1abJ22工+¥・sin(0+/)=l,其中tan0=^,(pe,—)a~b~ay()22艮卩sin(&+0)=.-I29兀0.兀VF显然当Mg,儿)在椭圆外时，埜+竝〉1V即0l故这样的交点W(qcos&,bsin&)不存在，所以直线/与椭圆相离.本节设计从课本例题出发，通过不断探究，改变条件，使结论更具有一般性，从而体验探究的成果，激发对

6、数学的兴趣，收到了好的效果.