第四章+根轨迹法

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1、第4章根轨迹法根轨迹的基本概念绘制根轨迹的基本规则和方法用根轨迹分析系统性能4.1.1根轨迹的基本概念例系统的开环传递函数如下图所示。4.1.1根轨迹的基本概念当K＝O，s１＝O，s２＝－2；当K＝0.5，s１＝－1，s２＝－1；当K＝1，s１＝－1+ｊ，s２＝－1-ｊ；当K＝∞，s１＝－1+ｊ∞，s２＝－1-ｊ∞；当K由0→∞变化时，闭环特征根在平面上移动4.1.2根轨迹与系统性能通过根轨迹图可以反映出系统稳定性与待定参数之间的关系，并且可以获得参数取值与系统响应曲线形式之间的对应关系以及与动态性能指标的对应关系。显然，绘制根轨迹，对控制系统的设计与整定可以起到重要的理论指导作用。4.1

2、.3绘制根轨迹的基本条件4.2绘制根轨迹的基本规则和方法4.2.1一般根轨迹（1800）的绘制规则规则1：根轨迹的分支数根轨迹在平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n。也就是分支数与闭环极点数目相同。4.2.1一般根轨迹（180O）的绘制规则规则2：根轨迹对称于实轴说明：根轨迹是闭环特征根的运动轨迹。当闭环特征根为实数时，它必位于实轴上；若为复数，则一定是以共轭的形式成对地出现，因此，所有的闭环特征根是对称于实轴的，那么它们的运动轨迹——根轨迹也一定对称于实轴。4.2.1一般根轨迹（180O）的绘制规则规则3：根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点数ｍ小于开环

3、极点数n，则有（ｎ一ｍ）条根轨迹终止于无穷远处。4.2.1一般根轨迹（180O）的绘制规则规则4：实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目之和应为奇数。4.2.1一般根轨迹（180O）的绘制规则规则4：实轴上的根轨迹规则5：根轨迹的渐近线规则5：根轨迹的渐近线规则6：根轨迹的出射角与入射角规则7：分离点和会合点几条根轨迹在平面上相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点。特别地又把离开实轴的那一点叫分离点，回到实轴的那一点叫会合点。常见的分离点和会合点一般都位于实轴上，但也又产生于共轭复数对中。基于根轨迹的分离点和会合点实质上都是特征方程式的重根，因而可用求解方程式重根的方法确定它们在

4、平面上的位置。规则7：分离点和会合点规则8：根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点可用＝jω。代入特征方程求解，或者利用劳斯判据确定。4.2.2一般根轨迹绘制举例设一单位负反馈系统的开环传递函数为试绘制其根轨迹图。解：开环极点：pl＝0，p2＝－3，p3，4＝-1土j1，n＝4，无开环零点，ｍ＝0。根轨迹共有四条分支。在实轴上的（－3，O）区段有根轨迹，四条根轨迹均趋向于无穷远。渐近线的交点与倾角4.2.2一般根轨迹绘制举例4.2.2一般根轨迹绘制举例即分离点坐标d＝－2.34.2.2一般根轨迹绘制举例4.2.2一般根轨迹绘制举例4.3用根轨迹分析系统性能根轨迹分析的主要任务包括：⑴由给定参

5、数确定控制系统的零极点位置，以确定系统的稳定性能；⑵计算系统的动态性能和稳态性能；⑶根据性能要求确定系统的参数等。在对系统进行根轨迹分析基础上，还可应用根轨迹法对系统进行综合。4.3.1系统稳定性分析1.无条件稳定的系统不管参数如何取值，系统的根轨迹全部在左半平面，则系统为无条件稳定系统，系统的稳定与可变参数的取值无关。2．条件稳定的系统若根轨迹在参数取值的范围内，部分在左半平面，部分在右半平面，则系统的稳定与可变参数的取值有关，系统属于有条件稳定系统。其中根轨迹与虚轴的交点处的可变参数取值，以及使根轨迹在左半平面时的取值范围，即是使系统稳定的取值范围。4.3.1系统稳定性分析3．结构不稳

6、定系统无论参数如何取值，至少有一条根轨迹全部在右半平面，则系统为结构不稳定系统。4.3.2系统稳态误差的确定就一般根轨迹（1800）而言，根轨迹的起点就是系统开环极点。开环极点在原点的个数就是系统的型别（0型、Ⅰ型、Ⅱ型）。此外，依据系统根轨迹增益的取值，可以导出系统开环增益的对应值。根据系统的型别和开环增益的大小，可以获得系统在给定输入下的稳态误差的形式和大小。4.3.3系统动态性能的定性分析1.阶跃响应无超调当可变参数在某一取值范围内，系统所有根轨迹都在左半平面的实轴上时，系统的瞬态响应过程不产生超调，系统的动态性能指标只有调节时间。调节时间的估算可取离虚轴最近的特征根进行计算。2.阶

7、跃响应有超调当可变参数在某一取值范围内，系统至少有一对根轨迹在左半平面上时，系统的瞬态响应过程产生超调，系统的动态性能指标主要有超调量、调节时间、峰值时间等。它们的估算可采取闭环主导极点的位置来确定。4.3.4根轨迹分析应用举例确定根轨迹的支数4.3.4根轨迹分析应用举例确定根轨迹的渐近线计算根轨迹的分离点4.3.4根轨迹分析应用举例计算根轨迹与虚轴的交点4.3.4根轨迹分析应用举例系统的根轨迹图4.3.4根轨迹分析应用