第四章+根轨迹法

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1、第四章根轨迹法引言4-1根轨迹的基本概念4-2绘制根轨迹的规则和方法4-3控制系统根轨迹的性能分析引言什么是线性系统的根轨迹？所谓根轨迹，是指当开环系统的某个参数（如开环增益K）由零连续变化到无穷大时，闭环特征根（闭环极点）在复平面上形成的若干条曲线。研究线性系统根轨迹的原因①一个控制系统的全部性质都取决于其闭环传递函数：稳定性由闭环极点唯一地确定；稳态精度取决于其比例系数；动态特性由闭环极点、闭环零点共同决定。因此，在分析研究控制系统的性能时，确定闭环极点、闭环零点在复平面上的位置就显得特别重要。②闭环零点与开环零、极点有关，闭环和开环比例系数之间也有

2、简单的关系，都不难确定。唯有闭环极点的确定比较麻烦。③欲知闭环极点在复平面上的位置，就要求解系统特征方程，当特征方程阶次较高时，计算相当麻烦。④研究系统参数变化对闭环极点位置的影响，对分析、设计控制系统是很有意义的。根轨迹法一种求取闭环系统的特征根的图解法（1948年，由W.R.Evans在“控制系统的图解分析”一文中提出）。已知开环零极点分布，研究一个或几个参数变化对闭环极点位置的影响，从而进一步分析系统的性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）。以前控制系统根轨迹绘制很麻烦，现在使用MATLAB非常方便。4.1根轨迹的基本概念1、根轨迹的基本概念图4-

3、1控制系统框图(1)将图4-1所示系统的开环传递函数转化为上式便是绘制根轨迹所用的开环传递函数的标准形式——零极点增益形式。(2)将两个开环极点p1=0和p2=-2绘于复平面上，并用“×”表示。(3)求出闭环系统的特征方程和闭环极点(4).闭环系统极点与标准化参数之间的关系可由图4-2表示图4-2二阶系统根轨迹从图中可以看出当k=0时，p1、p2与s1、s2重合，即开环极点和闭环极点重合;当0

4、:由根轨迹图4-2可分析系统的性能稳定性——无论K取何值，由图4-1表示的控制系统的闭环极点均位于复平面的左半平面，因此系统是闭环稳定的；动态性能——k=1（K=0.5）是此二阶系统由过阻尼状态过渡到欠阻尼状态的分界点，不同的阻尼状态对应的系统动态特性有明显差别；稳态性能——系统属于I型系统，K即为静态速度误差速度系数。如果给定稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。根轨迹是连续且对称于实轴的，这也是根轨迹的一个特性；绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统的任何参量，但最常用的是系统的开环增益——常规根轨迹。2、闭环零、极点与开环零、极点

5、间的关系前向通道根轨迹增益反馈通道根轨迹增益前向通道增益开环系统根轨迹增益前向通道零点反馈通道零点前向通道极点反馈通道极点m个零点(m=f+l)n个极点(n=q+h)m个零点(m=f+l)n个极点(n=q+h)3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹增益均有关；根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点!单位反馈系统1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。绘制根轨迹，

6、需要从系统的闭环特征方程入手。设负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)，其中G(s)和H(s)分别为控制系统的前向通道传递函数和反馈通道传递函数，则闭环系统的特征方程为3、绘制根轨迹的基本条件将上式改写成绘制根轨迹所依据的条件是幅值条件相角条件必要条件充要条件m个零点n个极点（nm）幅值条件相角条件根轨迹方程几点说明：实际上满足相角条件的任一点，一定可以找到相应的可变参数值，使幅值条件成立。相角条件也是根轨迹的充要条件。利用相角条件可确定根轨迹的形状，但利用幅值条件才可求得给定闭环极点所对应的增益K。进行相角计算时，规定正实轴方向为0°，逆时针方向

7、为相角的正方向。设控制系统的开环传递函数为1）“×”、“〇”2）加粗线及箭头3）关键点的标注！绘制注意点4-2绘制根轨迹的规则和方法3.根轨迹的起点和终点1.根轨迹分支数2.根轨迹的对称性4.实轴上的根轨迹6.根轨迹的渐近线9.根轨迹的分离点和汇合点8.根轨迹的出射角和入射角7.根轨迹与虚轴的交点5.根轨迹的走向绘制根轨迹的基本法则1.根轨迹的分支数n阶系统根轨迹有n个分支[说明](nm)按定义，根轨迹是开环系统某一参数从零到无穷时，闭环特征方程的根在S平面上的变化轨迹。因此，根轨迹的分支数与闭环特征方程的根的个数一致，而闭环特征式s的最高次必等于开环

8、传递函数的极点数n。闭环系统的阶次为3，有3条根轨迹。闭环极点数=闭环特征方程的