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1、以基本图形为基础解题教学探析本文针对初中几何问题的教学，尝试模型化方法，即以基本图形为线索，构建习题链接，从而使学生掌握利用基本图形解决一类问题的方法。罗增儒教授指出：如果能够辨别题目属于熟悉的类型，就用该类型相应的方法去解决（模式识别）；如果遇到不熟悉和费解的习题，不能直接转化为熟悉的类型，那我们既可以“分解”，使每一个小问题都是熟悉的，又可以揭示问题的深层结构，使问题的实质是熟悉的，同时还可以不间断地改变习题，最终划归为已经解决的问题。本文基于上述观点，进行了探索。下面是笔者在几何教学中所作的一点尝试。一、'‘建立以基
2、本图形为基础的习题系列”的探索把一个基本图形放在各种不同的图形背景中，构造出一系列数学问题，然而笔者认为要遵循循序渐进的原则，进行变式练习，先形成主干，再逐步添加枝叶。下面以“线段和最小”问题举例说明。在初中几何中，解决"线段和最小”问题有两个基本依据，分别是“两点之间线段最短”和“垂线段最短”。1.以"两点之间线段最短”为依据，有下列基本图形及其系列原形是八年级上册数学书中的“线段和最小”问题。对于基本图形的教学，创设适当的问题情境，学生的印象更加深刻。笔者把教材中的问题改编成“将军饮马”问题，学生兴趣很浓，由“营地”“
3、河流”“牧场”三者位置关系的变化，得到不同的变式。以下是从问题情境中，抽象出的基本数学问题。基本图形1：如图1,已知直线a和其同侧两点A、B,在直线a上作点C,使AC+BC最小。特点：利用轴对称将直线同侧两点转化为直线异侧两点，从而把“求折线段和的最小值”问题转化为“两点之间线段最短”问题。结合学生在不断解题过程中遇到的问题，归纳出基本图形的应用范围：(1)凡是具有轴对称性的图形都可以直接用此模型。(2)数形结合，把基本图形放到直角坐标系中。(3)对基本图形进行引申、拓展，放到不同图形背景中。基本图形系列教学中，解决问题的
4、关键是：如何在较复杂的背景中，引导学生揭示问题的本质，从而找到基本图形？下面举例说明。例1.已知A(2,—3),B(4,—1)是平面直角坐标系xOy中的两点。(1)若P(p,0)是x轴上的一个动点，则当p二时,APAB的周长最短；(2)若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点，则当a二时，四边形ABDC的周长最短；分析：对于问题(1),学生能快速识别基本图形并立刻找到解题方法：如图1—1,作A关于x轴的对称点2(2,3),连接A，B,直线A，B：y=—2x+7与x轴交点的横坐标即为所求。对于问题(2),虽有关键词
5、"四边形的周长最短”，但学生无法直接用基本图形。因此解决问题(2)的关键在于:揭示问题的本质，把“四边形的周长最短”转化为基本图形中“两条线段的和最短”。如何转化呢？这里介绍一种“图示分析法”：先假设满足条件的点或图形已找到，并画出示意图，借助示意图分析得出需要找的点或图形的准确作法。这种方法在解决某些作图问题中很有效。引导学生采用图示法进行分析，如图1—2,假设满足“四边形ABDC的周长最短”的点C、D已找出，则AC+BD最短。与基本图形相比，有两个动点C、D,怎样把两个点'‘合二为一”同时又不改变线段AC、BD的长度和
6、方向？这可以通过平移实现:将BD向左平移3个单位(CD的长)得到WC,将D与C"粘在一起”，则问题转化为AC+B'C最短。(将AC向右平移3个单位也可以)实际上，原图中并没有画出C、D,通过上面的图示分析法，可知：“平移BD”相当于“平移点B”o因此，准确的作图方法是:如图1—1,把点B向左平移3个单位得到点£,然后解决'‘在x轴上求点C使得AC+B'C最短”的问题，从而转化为第（1）题的类型，问题得到解决。在解决了不同背景的问题后，教师应引导学生及时反思，回归基本图形，这样就能够不断丰富基本图形系列，对这个系列的问题形成
7、一般方法，并且产生辐射，能够预见新的问题背景。2.以“垂线段最短”为依据，有下列基本图形及其系列基本图形2：如图2,已知点A在锐角ZMON的边0M上，分别在ON、0M上取点P、Q,使得AP+PQ最小。由“垂线段最短”可得如下等价形式：已知点A在锐角ZM0N的边0M上，在ON上取点P,作PQ丄0M于Q,使得AP+PQ最小。分析：虽然也是“线段和最小”，但不同于基本图形1;那么，能否借鉴其解决方法一一利用轴对称将直线同侧两点转化为直线异侧两点呢？由此想到：作点A关于直线ON的对称点A7,原问题转化为“在ON、0M上各取一点P、
8、Q,使A'P+PQ的值最小”,易得解决方案：过A'作A'0丄0M于Q,交ON于P,点P、Q即为所求，且AP+PQ的最小值为线段A'Q的长度。特点：以角为背景，需确定有依存关系的两个动点，通过轴对称变换，将线段和最短转化为点到直线垂线段最短。例2•如图2—1,在锐角△ABC中,AB二4,ZBAC的平分线交
