例谈化归法在解题中的运用

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1、例谈化归法在解题中的运用李玉琪(江苏省徐州师范大学,221009)数学中的化归法，是把待解决的问题转化归结为一啖已经解决或比较容易解决的问题，最终使原问题获解。因此，它是数学中最典型、最基本和最富有数学特色的方法Z-。如何实现化归？关键在于寻求止确的化归途径和选择恰当的化归方法。下面，以今年徐州市高一、二数学期末考试的两道压轴题为例说明。一、化归的基本方法例1已知二次函数fM=ax2+bx^、b为常数H0)满足条件/(l+x)=/(l-x),H•方程f(x)=x有等根，(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m,n,使f(x)的定义域和值域分别为［m,n］和［

2、3m,3n］?如果存在，求出m、n的值;如果不存在，说明理由.这是一道探索性问题.学生在解题中，如果能够较好地运用化归法，就比较容易获得问题的解答。先看问题仃)，求f(x)=ax2+bx的解析式，需确定系数a、b・因此,乂需列出并求解含a、b的方程组.这是第一次化归.问题所提供的条件可分解成两部分：一、f(1+x)二f仃-x).这可转化为二次函数f(x)=ax2+bx的图象关于直线x=1对称.这是数与形两类数学对彖Z间的一次化归.由=1,得-2a+b=0.①2a二、f(x)=x冇等根，即二次方程a"+(b-1)x二0冇等根.通过联想，又可转化为其判别式为0.由厶二

3、0,得b=1.②由①、②,求得解析式为f(X)=X-+Xo再看问题(2)，这是属丁•结论没有明确给出的存在性问题.常用的方法是直接推求法，依照推求结果说明结论存在或不存在.为了推求m、n,转化为先列出含m、n的方程纽，然后再考察求解的结果。为此，&先要判断f(x)在［m,n］上的单调性.事实上，因为f(x)=x2+x=(X—1)~H—<—，由3nW—，得nW—；乂为二222226次抛物线y二f(x)的开口向下，对称轴为x=1，所以当nW丄，即［m,n］(Z(-1］6时，f(x)在定义域［m,n］上为增函数。1.f(m)=——m"+m=3m其次，按题意列出方程21*

4、7f(n)=——n+7?=3/?同时考虑m

5、2)过顶点C作倾斜角为0的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点，当0e(0,丝)时，求AAPQ面积S的最人值.2(3)这里，主要谈谈联想推理在寻求化归途径中的重要作用.先看问题(1).由问题中的条件2sinB=V3(sin/l+sinC),首先联想到正弦定理，把三角形中角的关系转化为边的关系:2

6、AC

7、=V3(

8、BC

9、+

10、5A

11、)y)，按定义知，动点B的轨迹是椭又由丨AC丨二23,得

12、BC丨十

13、BA丨二4.在此，第二次又联想到椭圆的定义.设顶点B(x圆，具长半轴a=2，焦距2c=2能，短半轴b二1,所以,在直角坐标系xOy下,冲—(-巧尸2

14、所求方社为+y=1o4再看

15、问题(2)•由问题的要求“求AAPO面积S的最人值”，经过审题，相继产牛两次联想：其一，因为IAC

16、=2巧，求&APQ的面积S，只盂求

17、yl-y2丨(其中yl、y2是P、。两点的纵坐标或由S=—

18、AC

19、•

20、PQ

21、•sin0,需求弦长

22、PQ丨)。2由此使我们联想起联立直线PQ和椭圆的方程，消去x，化为含y的二次方程，由韦达定理求出丨yl-y2丨.即设P(xl,yl),Q(x2,y2),tan0=k,贝I」直线PQ的方程为y二kx,①椭圆方程为(x-V3)2+4/=4.②①代入②，得（4疋+1）^—2侖紗一疋=0.X+>2_2品k一4疋+1k2必力=-4宀1X一）?2

23、4V3sin^3sin20+1具二，求S（（））的最大值，乂联想到均值不等式法或判别式法等，其屮均值不等式法较为简捷.S加Z今•••sin0工0,<±^=22V34^33sin&+—sin/iR当且仅当3sin&=——,BP^=arcsin—时，等式成立.故S的最人值为2.至此问题获sin&3解.从上述解法，町见联想在寻求化归途径中的重耍作用.联想是由某种概念（联想因素）引起其它相关概念（联想效应）的一种思维形式，而其间的化归途径（联想路线），正是在“知识+想象”Z中被发现的.因此，教师在教学中，应有意识、有冃的地让学生仔细审题，根据解题目标，联想与其相关的定义、

24、公式、定理