线性代数的应用(1)

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1、线性代数的应用西安理工大学应用数学系内容提纲本篇通过三个具体的应用实例介绍线性代数在工程技术、经济管理等领域中的应用，并给出利用Matlab软件来求解这些具体问题的方法。药方配制问题交通流量分析人口迁徙问题一、药方配制问题通过中成药药方配制问题，达到理解向量组的线性相关性、最大线性无关组向量的线性表示以及向量空间等线性代数的知识问题：某中药厂用9种中草药（A-I），根据不同的比例配制成了7种特效药，各用量成分见表1（单位：克）1号成药2号成药3号成药4号成药5号成药6号成药7号成药A10214122038100B1201225356055C531105140D79255154735E

2、012255336F255355355550G94172523925H651610103510I821202620一、药方配制问题（1）某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号药和第6号药已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。（2）现在该医院想用这7种草药配制三种新的特效药，表2给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？1号新药2号新药3号新药A4016288B6214167C14278D4410251E53607F5015580G7111838H416821I145230一、药方配制问题解：（1）把每一种特效药看成一个九维列向量，分析7个列向量构成向量组的

3、线性相关性。若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；若向量组线性相关，并且能找到不含的一个最大线性无关组，则可以配制3号和6号药品。一、药方配制问题在Matlab窗口输入u1=[10;12;5;7;0;25;9;6;8];u2=[2;0;3;9;1;5;4;5;2];u3=[14;12;11;25;2;35;17;16;12];u4=[12;25;0;5;25;5;25;10;0];u5=[20;35;5;15;5;35;2;10;0];u6=[38;60;14;47;33;55;39;35;6];一、药方配制问题u7=[100;55;0;35;6;50;25;10;20];U=[

4、u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7][U0,r]=rref(U)计算结果为一、药方配制问题U0=r=124571010000从最简行阶梯型U0中可以看0120030出，R（U）=5，向量组线性0001010相关，一个最大无关组为0000110u1，u2，u4，u5，u7，0000001u3=u1+2u2四个零行u6=3u2+u4+u5故可以配制新药一、药方配制问题（2）三种新药用v1，v2，v3表示，问题化为v1，v2，v3能否由u1-u7线性表示，若能表示，则可配制；否则，不能配制。令U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3][U0,r]=rref(U

5、)由U0的最后三列可以看出结果一、药方配制问题计算结果为可以看出v1=u1+3u2+2u4v2=3u1+4u2+2u4+u7v3不能被线性表示，所以无法配制二、交通流量的分析通过一个简单的城市交通模型，练习方程组的建立与求解问题：某城市有如图的交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车流量。针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等。请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量xi（i=1,2,3,4）二、交通流量的分析260251DC320357360260AB220292单行道4节点交通图二、交通流量的分析解：根据已知条件，得到各节点的流通方程A：B：C：D：二、

6、交通流量的分析整理得方程组为在Matlab窗口输入二、交通流量的分析计算结果为二、交通流量的分析三、人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？三、人口迁徙模型这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示。一年以后，市区人口为xc1(10.06)xc00.02xs0，郊区人口xs10.06xc0(10.02)xs0用矩阵乘法

7、来描述，可写成：三、人口迁徙模型从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为输入：A[0.94,0.02;0.06,0.98],x0[0.3;0.7]x1A*x0,x10A^10*x0,x30A^30*x0,x50A^50*x0得到：三、人口迁徙模型本题特征值和特征向量的意义：无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘