线性代数的应用

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1、线性代数的应用（线性代数第二次讨论课）线性代数是最有趣最有价值的大学数学课程----DavidC.Lay广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，生物学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，系统控制，通信，航空等学科和领域。应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、材料力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学等课程。1.电路网络问题在工程技术中所遇到的电路，大多数是很复杂的，这些电路是由电器元件按照一定方式互相连接而构成的网络。在电路中，含有元件的导线称为支路，而三条或三条以上的支

2、路的会合点称为节点。电路网络分析，粗略地说，就是求出电路网络种各条支路上的电流和电压。对于这类问题的计算，通常采用基尔霍夫（Kirchhoff）定律来解决。以图3-2所示的电路网络部分为例来加以说明。设各节点的电流如图所示，则由基尔霍夫第一定律（简记为KCL）（即电路中任一节点处各支路电流之间的关系：在任一节点处，支路电流的代数和在任一瞬时恒为零（通常把流入节点的电流取为负的，流出节点的电流取为正的）。该定律也称为节点电流定律），有对于节点A：对于节点B：对于节点C：对于节点D：于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方程组的求解相应MA

3、TLAB代码为（dianlu.m）clearA=[1,0,0,1,0,-1;0,1,0,1,-1,0;0,0,1,0,-1,1;1,-1,1,0,0,0];b=[0;0;0;0];[R,s]=rref([A,b]);r=length(s);disp('对应齐次线性方程组的基础解系为：')x=null(A,'r')其中:由于i1,i2,i3,i4,i5,i6均为正数，所以通解中的3个任意常数应满足以下条件：如果则：解之，得其解为2.联合收入问题已知三家公司X,Y,Z具有图2-1所示的股份关系，即X公司掌握Z公司50%的股份，Z公司掌握X公司

4、30%的股份，而X公司70%的股份不受另两家公司控制等等。现设X，Y和Z公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净收入加上在其他公司的股份按比例的提成收入、试确定各公司的联合收入及实际收入。解依照图2-1所示各个公司的股份比例可知，若设X、Y、Z三公司的联合收入分别为x,y,z,则其实际上各自公司自身的收入（实际收入）分别为0.7x，0.2y，0.3z。联合收入由两部分组成，即营业净收入及从其他公司的提成收入，故对每个公司可列出一个方程x=12+0.5z对Y公司为y=10+0.1z对Z公司为z=8+0.

5、3x+0.2y故得线性方程组x-0.5z=12y–0.1z=100.3x+0.2y–z=-8对X公司为（X，Y和Z公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元）Matalb计算>>A=[10-0.512;01-0.110;0.30.2-1-8]>>rref(A)ans=10020.192801011.638600116.3855Y公司的联合收入为y=11.6386(元)实际收入为0.2*11.6386=2.3277(万元)Z公司的联合收入为z=16.3855(元)实际收入为0.3*16.3855=4.9157(元)于是X公司的联合

6、收入为X=20.1928(万元)实际收入为0.7*20.1928=14.1350（万元）3.决策问题某大三学生的第一学期的必修课程只有1门(2个学分)；限选课程8门，任选课程10门。由于有些课程之间有联系，所以可能在选修的某门课程时必须同时选修其课程，这18门课程的学分数和要求以及相应信息如表1所示。按学校规定,每个学生每学期选修的总学分不能少于21学分，因此，学生必须在上述18门课程中至少选修19学分，任意选修课的学分不能少于3学分,也不能超过6学分。试为该学生确定一种选课方案。表118门课的学分数及要求课号选修课学分选修要求课号必修课

7、学分选修要求12345678554433321291011121314151617183332221111864576解：列线性方程组如下：假设该学生所选的任意选修课的学分为3分，18门课程共选修19个学分，则有如下的线性方程组：矩阵A=,b=则通解为又因为的值为0或1，所以或为例，则此方程的通解为：以由=0或1得，=0或1，假设=1，可令m2=…=m5=0,m1=m6=1,这样可得，则由=0或1得，=0或1，不妨设=0，此方程的通解为：由=0或1得，=0或1.又因为，所以由题意可得，所以可令m1=m2=m3=m4=0，m5=m6=m7=

8、1，m8=0，则所以可得到方程组的一个解，这组解对应的选课方案为：选1,2,3,8,15,16,17Matlab实现如下:输入内容为：clearA=[5,5,4,4,3,3,3,2,3,3,3