【徐长青】《特殊化的解题策略——“退”中的数学》

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1、特殊化的解题策略一一“退”中的数学内容提要：解决问题的策略就是寻找解题思路的指导思、想，它是为了实现解题目标而采取的指导方针。在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。特殊化策略是i种“退”的策略，所谓“退”，可以从i般退到特殊，多数退到少数，空间退到平面，抽象退到具体……'退'到最原始而不失去重要性的地方。关键词：解题策略、指导方针、特殊化策略——“退”的策略解决问题是数学课程的重要目标之一，解决问题需要相应的策略做支撑。解决问题的策略就是寻找解题思路的指导思想，它是为了实现解题忖标而

2、采取的指导方针。数学大师希尔伯特曾讲：“在讨论数学问题吋，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。我们寻找一个答案而未能成功的原因就在于这样的事实，即冇一些比手头的问题更简单、更容易的问题没冇完全解决，这一切都有赖于找岀这些比较容易的问题，并且川尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们。”由此可见，当我们遇到带有一•般性问题的题目感到束手无策吋，采用特殊化策略就是一个较好的选择。一、特殊化的基木思想特殊化策略即视原问题为一•般，构造-其特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决。特殊化作为化归策

3、略，基本思想就是：相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单、肓观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕冇着一般问题的解决。因此，人们在对某个一般性的数学问题解决冇困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或结果应用或推广到i般问题Z上，而获得一般性问题的解决。正如波利所说：“特殊化是从考虑一组给定的対象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集或仅仅一个对彖。”因此，特殊化常表现为范围的收缩或限制，即从较大范围的问题向较小范围的问题过渡，或从某类问题向其了类问题的过渡。

4、较为理想的特殊是其白身容易解决,且从其解决过程屮乂易发现或得到一般性问题的解法。所以，特殊化策略的关键是能否找到一个最佳的特殊化问题。二、特殊化的具体运用特殊化策略是一种“退”的策略，所谓“退”，可以从一般退到特殊，多数退到少数，空间退到平面，抽象退到具体……，正如华罗庚先生所说：“善于'退’，足够地'退'，'退'到最原始而不失去重要性的地方，把简单的、特殊的问题搞清楚了，并从这些简单的问题的解决中，或者获得解题思路，或者提示解题方向，或者发现一般问题的结论，或者得到化归为简单问题的途径，从而再'进’到

5、一般性问题上來。”在教学上，我把这“退”的策略总结成这样一•句话：“退、退、退，进、进、进，回头看，找规律。”下面就让我通过一些具体的例了来体会特殊化策略。例1：在平面上画出100条肓线，这些直线最多可把平面分成多少个小区域？分析与解：一下子看出本题的计算方法或者结果都是很难的，我们不妨“退”到最简单的情况进行观察，逐步找到规律，然后得出答案来。平而上如果没有直线，则報个平面就只有1个区域；如果画出第1条肓•线，则平面被分成2个区域，比刚才增加了1个区域；如果再画1条直线，则共有2条直线，平面最多可以被

6、分成4个区域（耍想使分成的区域尽可能多，就应该使所画的直线与前面已画的直线既不平行又无三线共点的悄况发生），比刚才又增加了2个区域；如果再画笫3条直线，则平面授多可以被分成7个区域，乂比刚才乂增加了3个区域，……，依此类推，当画出第k条直线时,平面将最多可以增加k个区域，这样观察得出的规律止确吗？显然，如果要使分得的区域尽可能的多，画的这些直线应满足两个条件：（1）任何两条直线都不平行；（2）任何三条直线都不经过同一个点，即没有三条共点的情况出现。事实上，当平而上已经有了（k-1）条直线时，如果再画出第

7、k条直线，则直线将与前面画出的（k-l）条直线都相交且无三线共点，于是这条肓线被前（k-1）条肯线分成了k段,由于每段都把它所经过的平而区域分成了两个区域，所以共计增加了k个区域。故在平面上画Hi100条直线，这些直线最多可以把平面分成1+1+2+3+・・・+100=5051（个）区域。例3：有一个繁华的商场，一天之中接待的顾客数以千计，川流不息。如果商场有一个重要广告，想使所有的顾客都能听到；乂已知当天任意的三个顾客屮，至少有两个在商场里相遇。问商场至少广播几次，就能使这一天到过商场的所有顾客都能听到

8、。分析与解：顾客人数为n=l,2时，不能提供一般情况的启示，因为绘木质的条件“任意3个顾客中，至少有两个在商场里相遇”没有用上。考虑n=3。当第一个顾客到來时，为了使广播的次数少一些，可以先不忙开广播，一直等到冇人要离开商场时，则必须开播。可见第一次广播应在第一个顾客将离而未离商场之前。第一次开播吋，第二、三位顾客可能到了也可能未到，考虑最坏的情况，他们还未进来或还未全进来，那么第二次开播应在第三个顾客进来Z后。现在的问题是，第二个顾客会不