复杂空间中散焦能量超临界五次波动方程仿真

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1、第30卷第10期计算机仿真2013年10月文章编号：1006—9348(2013)10—0241—04复杂空间中散焦能量超临界五次波动方程仿真侯秀安(华中科技大学，湖北武汉430074)摘要：研究一类能量超临界波动方程初值问题；在应用数学、物理学和力学等学科中，许多数学模型是在四维空间中以高次方程的形式建立起来的，所以对于四维空间中高次方程的初值求解是非常重要的；由四维空间中高次方程的求解理论可知，许多复杂空间下的高次方程并不是存在全局解的，其解只是在局部才成立，因此，对于复杂空间下的高次方程局部解存在性研究很有必要；本文以散焦为模型，建立基于四维空间的五次波动方程，在此基础上，证明了在四

2、维空间中散焦的能量超临界五次波动方程局部存在性定理，推导结论真实有效。关键词：能量超临界；非线性波动方程；压缩映射中图分类号：TN802文献标识码：ALocalExistenceTheoremforTheDefocusingEnergy——supercritiealQuinticNonlinearWaveEquationHOUXiu—an(HuazhongUniversityofScienceandTechnology，Wuhan，430074，HubeiProvince，China)ABSTRACT：Thelocalexistencetheoremforthedefocusingener

3、gy—supercriticalquinticnonlinearwaveequationwasstudied．Inmathematicsapplication，physicsandmechanics，manymathematicalmodelswerestructuredwithfour—dimensionalspaceintheformofhish—orderequation．SOtheinitialvalueofhighequationinthefour—di—mensionalspaceWasveryimportant．Itwasknownthatmanyhish—orderequa

4、tionundercomplexspacedidnotexisttheglobalsolutionfromthetheoryofhighdimensionalspace，butthelocalsolutionwasexist，SOitwasnecessarytostudyontheexistenceoflocalsolutionsforequationsundercomplexspace．Inthispaper，localexistencetheoremforthedefocusingenergy—supercriticalquinticnonlinearwaveequationWaspr

5、oposed，onthisbasis，theenergysuper-criticalwaveequationinfour—dimensionalspaceWasdemonstrated．Conclusionshowsgoodeffectastherealresult．KEYWORI)S：energysupercritical；nonlinearwaveequation；contractionmapl引言四维空间的高次方程可以很好的描述应用数学、物理学和力学中的许多复杂问题，所以复杂空间的高次方程解不论是对于理论的数学分析，还是实际的物理应用，力学分析均具有重要的意义。在复杂空间的高次方程求

6、解过程中，常常遇到无解的问题，分为两种情况：一种是不论通解还是局部解均不存在，另一种是通解不存在，但局部解存在。也就是说，问题可以通过高次方程很好的描述，但是解却不能很好的解出来。实际中，许多的复杂空间高次方程是存在局部解的，所以论证方程的局部存在性和初值解是非常必要的。收稿日期：2013—08—082问题描述本文研究如下的散焦的能量超临界的五次波动方程初值问题，定义为：ru。一Au+I扯I4u=0，{(1)【(IZ,Ia。H)IⅢ=(‰，u1)∈毋×毋-1其中u：，xIR4一鹏是实值函数，d≥4，0EICIR是时间区间。回顾一下能量临界的概念。设u^(t，石)=A1-u(At，ax)，A

7、>0(2)则映射uHu．将方程(1)的一个解映射为(1)的另一个解，并且

8、

9、(“·，ar“·)IⅢ0辞。晦一t20u。，H·)0喀。略一t(3)由此定义临界正则指数&：生}。当。。：1即d：3时，一241—上述的标度变换(2)使得能量E(u(t)，u。(f))=L。÷(IVu(圳2+h㈤I2)+吉lm)16dx，不变。当s。>1(即d≥4)时，&称为能量超临界指数。定义1称函数u：l×／R4一腰为方程(1)的解，如果对每