随机变量的数学期望在经济决策中的应用

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1、随机变量的数学期望在经济决策中的应用摘要：本文结合实际例子阐述了数学期望在投资、求职、试验等决策方面中的应用，展示了数学期望在经济决策中的作用。关键词：数学期望；随机变量；经济决策；应用数学期望是随机变量一种数字特征，它代表着随机变量总体取值中的平均水准•因为决策方案问题就是将数学期望最大的方案当作最佳方案并加以决策的问题，所以数学期架也越来越多的应用于经济决策中。本文拟结合实例讲解数学期望在投资、求职、试验等决策方面中的应用，展示经济决策中数学期望的作用。1・投资中的应用无论是从计划还是决策观点来看数学期望都是极其重要的。假设知道任一方案Aj(j=l,2,…,m)

2、在每一自然状况(影响因素)Si(i二1,2,…,n)发生的情形中，实施方案Aj后产生的盈利值p(Si,Aj),和各自然状况发生的概率p(Si),则可以对各个方案的期望盈利作出比较：Ep(Aj)=Eni=lp(Si)p(Si,Aj)(j=l,2,…，m),选择出最佳方案，即期望盈利最高的。1.1最佳进货量的问题如果在每个月初，商业大厦储存某一商品y个单位，且每售出一个单位可以得到c元利润，但若到月末有一单位售不出去，则亏损e元。假设这个需求量是一个不定的变量£,且接近于服从均匀分布，即:e〜p(x)二lb-a,aWxWbO,其它那么该商业大厦每月初需储存多少单位该商品

3、才可将利润的期望值达到最大？分析设该商品储存的单位量为y,利润则为1才(£),那么：L=f(e)=cy,e2yc£-e(y-£),e

4、商场经销的某种商品，每月的需求量x在100到300范围内等可能取值，该商品也在100到300范围内等可能的収值(每月只在月初进一次货)。商场每销售一单位的商品可以获得500元的利润。但是，若供大于求，则削价处理，每处理一单位的商品亏损100元；如果供不应求，可从外单位调拨，此时一单位商詁可以获得的利润为300元。现在要做的是估计进货量为多少的时候，商场可以获得最佳的利润？而且最大利润的期望值是多少？分析由于这种商品的需求量x是不确定的，即是一个随机变量，而且它在区间[100,300]±均匀分布，而销售该商品的利润值y是x的函数,所以这也作为随机变量之一。题目所牵涉到

5、的最佳利润仅仅是利润的数学期望，即平均利润的最大值。因此，这个问题的求解过程是，先确定y和X的函数关系，再求出y的期望值Ey,最后利用极值的方法求出Ey的极大值点以及极大值。先假设每月的进货量为a,则y=500a+300(x-a),当x^a500x-100(a-x),当x利润y的数学期望为：Ey=1200/al00(600x-100a)dx+1200/300a(200a+300x)dx二-0.75a2+350a+52500令dEyda=-l.5a+350=0得：沪7003=233所以maxEy二-0.75X70032+350X7003+52500^93333(元)由

6、以上结果可知，月最佳进货量为233单位。最大利润的期望值为93333元。1.2机器故障问题现今是科技FI益发展的时代，越来越多的工厂已经或正在完全机械化。在投资生产的时候，不得不考虑机器出故障的可能性，以及在故障出现后的损失情况，以便计算在一段时间内可能获得的利润值。这些都可通过数学期望来解决。例2假设一部机器某天中发生故障的概率为0.2,该机器一旦发生故障将全天停工，如果每个星期5个工作H该机器均无故障，工厂能获得利润10万元，发生一次故障可获利5万元，发生2次故障不盈利也没有亏损，而发生3次及以上次数的故障，工厂亏损2万元，求工厂每周的期望利润。所以该工厂每个星

7、期的期望利润是5.216万元。1.3保险问题例3某保险公司有对摩托车作出保险，设已知每年赔偿该保险用户一万元的概率是0.0002,赔偿五千元的概率为0.02,赔偿2500元的概率为0.06,假设不考虑其它费用，该保险公司预期平均每一保险用户需缴纳多少的保险费比较合适？分析如果这个保险公司对每个保险用户的补偿金额为£（单位：元）,则£是随机变量，且这个分布列为：£的数学期望值为：这表示保险公司预期对每哥参保客户户赔偿的平均金额是252元。假设保险公司预期从每个参保客户身上平均盈利多少，那么每年就该收取每个参保客户保险费应收取盈利额加上期望值。当然也要考虑保险用户的