随机变量的数学期望的应用

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1、随机变量的数学期望的应用本文的第一部分应用数学期望的相关知识去解决高等数学中一些难以计算的积分问题以及无穷级数的求和问题，并将这些问题加以推广得到一般的计算公式。在本文的第二部分通过实例分析向读者介绍数学期望在实际问题中的应用。　　关键词数学期望积分的计算无穷级数的求和决策最大利润　　：O211：A　　　　ApplicationofMathematicsExpectationofStochasticVariable　　KOUBingyu,TENGXinghu　　(DepartmentofAppliedMathematics,Mathematic

2、sDepartment,ScienceSchool,　　ThePLAUniversityofTechnology,Nanjing,Jiangsu211101)　　AbstractInthefirstpartofthispaper,theauthorathematicsexpectationtocalculatingakindofintegrationsandinfinteseries.Itisdifficulttosolvethesequestions,ifethodsofadvancedmathematics.Inthesecondparto

3、fthepaper,theauthorathematicsexpectationintherealples.　　Keyathematicsexpectation;calculationofintegrations;thesumofinfinteseries;makingdecisions;themaximumofprofit　　　　英国逻辑学家和经济学家杰文斯曾说：“概率论是生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为。”概率论这一数学分支也不负众望，在众多领域内扮演着越来越重要的角色，取得越来越广泛的应用。数学期望作为

4、随机变量的一个重要的数字特征也有着其非常重要的意义，下面从基础应用性和实际应用性两个方面来向读者介绍随机变量的数学期望。　　1数学期望在高等数学的一些复杂计算中的应用　　概率论与数理统计是高等数学的后继课程，其发展离不开高等数学的思想和方法。但是概率论与数理统计的思想也为解决高等数学中的一些复杂计算提供了事半功倍的途径。下面从两个实例出发，看看概率论的思想是如何解决高等数学中复杂的计算问题的？　　1.1数学期望在积分计算中的应用　　例1计算积分　　解：将被积函数整理得，联想到服从正态分布的随机变量的密度函数的形式，可以尝试将被积函数化成服从某一

5、正态分布的密度函数的形式，这样本题事实上就转化为了计算随机变量的函数的数学期望的问题，从而使计算过程简单化。所以　　其中，X~N(-2,)，故E(X)=-2，D(X)=，从而　　E(X2)=D(X)+E2(X)=　　所以根据数学期望的性质容易得到　　E(2X2+4X+5)=2E(X2)+4E(X)+5=6　　故　　事实上，我们可以将这一方法推广到计算这类积分的一般形式，具体如下：　　例2计算积分　　解：解：将被积函数整理得　　其中，X~N(-,)，故E(X)=-，D(X)=从而　　　　所以根据数学期望的性质容易得到　　　　1.2数学期望在无穷级

6、数求和中的应用　　例3求n2()n-1　　解：在高等数学中这类无穷级数的求和也是非常麻烦的，但是如果我们在这里将概率论的思想引入的话就会将计算过程简单化。引入随机变量，设随机变量服从p=的几何分布，即P{=n}=·()n-1，则E()==5，　　D()==20，从而E(2)=D()+E2()=45　　又由于E(2)=n2··()n-1=n2·()n-1=45，　　故n2()n-1=45??=225　　同样，我们也可以将这一方法推广到计算这类无穷级数的和的一般形式，具体如下：　　例4求n2qn-1（其中0＜q＜1）　　解：引入随机变量，设随机变量

7、服从p=1-q的几何分布，即P{=n}=p·qn-1，则E()=,D()=，　　从而E(2)=D()+E2()=　　又由于随机变量的函数的数学期望的计算可知　　E(2)=n2·p·qn-1=pn2·qn-1，　　从而pn2·qn-1=，　　故n2qn-1==　　2数学期望在实际问题中的应用　　现实社会中具有很多的不确定因素，那么我们为了解决当前或未来可能发生的问题，在若干可供选择的行动方案中选择一个最佳方案，这一过程就成为决策。因此，我们在决策分析过程中，需要进行缜密的逻辑思考，灵活运用概率论知识，这样就很容易解决一些实际的问题。然而随机变量的

8、数学期望在我们的决策中又起到了至关重要的作用。下面，我们结合具体的实例来看看数学期望在我们实际生活中的应用。　　2.1数学期望在生活决策中的应用　　现