流体力学 第4章 流体动力学基础

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1、第四章流体动力学基础对运动流体的应力状态作进一步分析，定义应力张量，并给出应力张量和变形率张量之间的联系。建立不可压缩流体运动微分方程—N-S方程。对理想流体运动微分方程——欧拉方程在恒定条件下沿流线积分得到恒定元流的能量方程——伯努利方程，进而推广到总流，得到恒定总流的能量方程。将动量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流的动量方程。三大守恒定律质量守恒动量守恒能量守恒连续方程能量方程动量方程恒定总流三大方程水力学课程重点§4—1运动流体的应力状态§4—2流体运动微分方程§4—3恒定总流的能量方程§4—4恒定总流的动量方程§4—5求解恒定总流问题的几点说明第四章流体动力学基础§4—1运动流

2、体的应力状态静止流体（不论理想或实际流体）运动理想流体pP=-pnpP=-pnp：动压强p：静压强dxdydzpypnnyzxoM静止流体运动理想流体静止流体和运动理想流体中的四面体微元运动方程中质量力（含惯性力）比起表面力是高阶无穷小，当四面体微元趋于一点，即可得证Pnn运动实际流体应力四要素：点、面、侧、分量方向。一点处的应力pn取决于作用面法向，所以脚标中须加上n的含义：的含义：pn分量形式脚标含义：前一个表示作用面方向；后一个表示应力分量之投影方向。法向为x轴正方向的作用面上的应力在y方向的分量。（切应力）法向为x轴正方向的作用面上的应力在x方向的分量。（法应力）应力分量主对角

3、线上的三个元素是法应力分量，其它是切应力分量。应力张量九个量组成的二阶张量可以证明这个张量是对称的，只有六个独立的分量。应力张量法应力为正表示受拉有了应力张量[P]，任意方位作用面上的应力都可知道，为：例如法向为n的作用面上应力的y方向的分量运动流体的应力状态可由应力张量来描述。任意方位作用面上的应力应力张量主对角线上三个元素之和是坐标变换中的不变量，即其值不随坐标轴的转动而改变，任意三个相互垂直的作用面上的法应力之和都是相同的。流体的动压强流体的动压强由场点唯一对应，而与作用面的方位无关。所以运动流体中存在一动压强场，它是数量场。要注意p并非任意方位作用面上真正的压应力定义流体的动压

4、强广义牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律推广各向同性的不可压缩牛顿流体的应力和变形速率之间存在线性关系广义牛顿内摩擦定律§4—2流体运动微分方程理论基础是动量守恒定律，讨论在欧拉观点下进行。按照欧拉观点表述动量守恒定律：单位时间控制体内动量的增加必等于单位时间净流入控制体的动量加上控制体内流体所受合力。一.以应力表示的流体运动微分方程xyzodxdydzuxabcda’b’c’d’单位时间里，从abcd面流入微元体的流体质量为流入微元体的x方向的动量为从a’b’c’d’面流出的x方向的动量为净流入前后这一对表面的x方向的动量为同理可知，在单位时间里，沿着y方向和z方向净流

5、入左右和上下两对表面的x方向的动量分别为和dxabcda’b’dydzc’d’uzuyxyzo作用于六面体表面沿x方向的表面力有：前后一对面元法向力左右一对面元切向力-pzxxyzo上下一对面元切向力相加得沿x方向的总表面力dxdzdy-pyx-pxx作用于六面体微元沿x方向的质量力为单位时间微元内x方向动量的增加为根据动量守恒原理动量增加流入动量质量力表面力0由连续方程知左边等于整理得方程组不封闭以应力表示的流体运动微分方程将广义牛顿内摩擦定律代入得二.不可压缩粘性流体的运动微分方程——N-S方程0不可压拉普拉斯算子对跟随其后的量求调和量矢量形式时变惯性力位变惯性力质量力压差力粘

6、性力方程组封闭时变惯性力位变惯性力质量力压差力三.理想流体的运动微分方程——欧拉方程矢量形式流体静止时，只受质量力、压差力的作用，运动方程退化为欧拉平衡方程四.流体动力学定解问题和解法概述微分形式流体运动方程连同连续方程，形成对流体运动的基本控制方程组，是求解流速场和压力场的理论基础。四个方程可求四个未知量：p和u，方程组是封闭的。但由于运动方程是二阶偏微分方程，其中的位变惯性力（常称为对流项）是非线性的，解析求解非常困难。基本微分方程组忽略粘性，作理想流体假设，从流动的维数上作简化，都是常见的手段。如果流动是有势流动，解析处理就有更多的便利条件。后面我们就将分门别类地对各种流动进

7、行求解方法的讨论。解法概述只有在极少数简单流动的情况下，N-S方程才有解析解。而绝大部分流动都不能直接对N-S方程解析求解，我们只能抓住问题的主要方面，作相应的简化，才能进行进一步的解析处理。各种简化都是在基本方程的基础上进行的，所以深入理解方程中各项的物理意义是非常重要的。边界条件是指运动方程的解在流场的边界上必须满足的运动学和动力学条件。常见的边界条件有：固壁条件和液体的自由表面条件。初始条件和边界条件流体动力学定解问题流体运动基本方程初始