流体力学 第6章 量纲分析与相似理论

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1、量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规律性联系的一种方法。它对于正确地分析、科学地表达物理过程是十分有益的。两个规模不同的流动相似是流体力学试验时必须面对的问题。本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力学试验研究有重要的指导意义。第六章量纲分析与相似理论§6—1量纲分析§6—2相似理论第六章量纲分析与相似理论§6—1量纲分析一.量纲、无量纲量在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体的物理量就对应于一个数值，有了比较意义上的大小，这是物理量的量的特征。量纲是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示物理量的类别，是物

2、理量的质的特征。基本量纲具有独立性，比如与温度无关的动力学问题可选取长度[L]、时间[T]和质量[M]为基本量纲。基本量纲诱导量纲量纲诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出称为量纲指数则x为几何学的量则x为动力学的量则x为运动学的量如运动粘性系数动力粘性系数无量纲（量纲为一）量相同量纲量的比值几个有量纲量通过乘除组合而成如角度，三角函数定义：物理量的所有量纲指数为零如压力系数正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量纲指数都分别相同。二.量纲和谐原理任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位制变换而改变形式。客观物理规律必定可以通过无量纲

3、量之间的关系式来表达。物理过程的有量纲表达形式为，其中m个物理量的量纲被选为基本量纲，余下n-m个物理量可各自与这m个物理量组合成无量纲量，定理的结论是：物理过程的无量纲表达形式为三.定理物理过程涉及n个物理量，其中有m个物理量的量纲是互相独立的，选这些量纲为基本量纲，可组成n-m个无量纲量，物理过程则可由这n-m个无量纲量的关系式描述。否则就违反了量纲和谐原理。例初速为零的自由落体运动位移ss～g,tg,t选为基本量纲三个量只能组成一个无量纲量s/gt2初速为零的自由落体运动规律s/gt2=C做一次实验测得C=1/2，就不用再做类似实验，包括在月球上

4、做实验。从无量纲表达看，似乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉及的物理量并未减少，只是这些物理量组合成了若干无量纲量相互关联。比起有量纲表达来，无量纲表达更接近于相关物理量之间规律性联系的实质，也更具普遍性。应用定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物理量时，既不能遗漏，也不要多列。本节在量纲分析基础上，讨论两个规模不同的不可压流体流动的相似问题。这是进行有关流体力学模型试验时必须面对的问题。§6—2相似理论一.流动相似概念几何相似：流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度相等。几何相似还可认为包括流场相应边界性质相同，如固体壁面，自由液面等。长度

5、比尺运动相似：以几何相似为前提。流体质点流过相应的位移所用时间成比例。在对应瞬时，流场速度图相似，即相应点速度大小成比例，方向相同。长度比尺时间比尺长度比尺时间比尺动力相似：在对应位置和对应瞬时，流场中各种成分的力（时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力和粘性力）矢量图都相似，即相应点力的大小成比例，方向相同。并且五种成分力的相似比例数也相同，即力多边形相似。作用力比尺在两个相似流动中，对应的无量纲量是相同的。不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那么我们怎样来保证两个不同规模的流动是相似的呢？两个相似的不可压流体流动的无量纲解应是相等的，这意味着控制流动

6、的无量纲方程和无量纲边界条件和初始条件应是完全一样的。二.相似准则用流动的时间、长度、流速和压强特征量，将方程的自变量和应变量无量纲化：带‘～’的量成为无量纲量。将无量纲变量代入连续方程N-S方程得到无量纲方程和其中另一方面，也要将定解条件无量纲化，即给出在无量纲边界上的边界条件及在无量纲时间初值时的初始条件。接着再将无量纲N-S方程对流项前的系数归一，得到必须相等。它们都是无量纲量，分别反映了时变惯性力、重力、压差力和粘性力在流动的动力平衡中相对于位变惯性力的重要性。相似流动的无量纲方程和边界条件、初始条件应该完全一样，所以两个相似流动对应的根据上面得到

7、的四个无量纲量（有的作了取倒数、开方等改形）得到流动的相似准数：斯特劳哈尔数弗劳德数欧拉数雷诺数它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。时变惯性力位变惯性力表征斯特劳哈尔数弗劳德数欧拉数雷诺数位变惯性力重力位变惯性力粘性力位变惯性力压差力表征表征表征流动的特征量一般应取流动中容易测量到的、能显著体现流动特征，或者对流动起到重要控制作用的量。如这些特征量常取在边界处，使相似准数中自然融进边界条件的相似。T取为周期性运动的周期U取为无穷远方来流速度P取为与无穷远方的压差L取为绕流物体的特征长度或圆管直径相似准则：重力相似准则：保证两现象的弗劳德数

8、相等非恒定相似准则：保证两现象的斯特劳哈尔数相等压差力相似，即欧拉