特殊平行四边形辅助线的添加技巧提升策略

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1、特殊平行四边形辅助线的添加技巧提升策略特殊四边形主要包括平行四边形.矩形、菱形、正方形和梯形•在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线•下介绍一些辅助线的添加方法.一.和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.1・利用一组对边平行且相等构造平行四边形2・利用两组对边平行构造平行I边形3・利用对角线互相平分构造平行四边形二•和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.菱形是一种特殊的

2、平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：(1)作菱形的高；(2)连结菱形的对角线.三、与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种:(1)计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;(2)证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题•和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.四•与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多•解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.一.和平行

3、四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.1・利用一组对边平行且相等构造平行例1•如图1,已知点0是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证：0E与AD互相平分.分析：因为四边形OCDE是平行四边形，所以OC//ED,0C二DE,又由0是AC的中点，得出AO//ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形，问题得证.证明：连结AE、0D,因为是四边形OCDE是平行四边形，所以0C//DE,OC=DE,因为0是AC的中点，所以AO/

4、/ED,AO=ED,所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与0E互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.2・利用两组对边平行构造平行四边形例2.如图2,在ZkABC中，E、F为AB上两点，AE=BF,ED//AC,FG//AC交BC分别为D,G.求证：ED+FG二AC.分析：要证明ED+FG二AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形，得ED=HC,然后根据三角形全等，证明FG=AH.证明：过点E作EH//BC,交AC于H,因为ED//AC,所

5、以四边形CDEH是平行四边形，所以ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以ZAEH=ZB,ZA=ZBFG,又AE=BF,所以△AEH竺△FBG,所以AH=FG,所以FG+DE二AH+HC二AC・说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问3・利用对角线互相平分构造平行四边形例3•如图，已知AD是ZkABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证BF二AC.分析：要证明BF=AC,一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中,利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等

6、的相段代换•寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.证明：延长AD到G,使DG=AD,连结BG,CG,因为BD二CD,所以四边形ABGC是平行四边形,所以AC=BG,AC//BG,所以Z1=Z4,因为AE=EF,所以Z1=Z2,又Z2=Z3,所以Z1=Z4,所以BF=BG=AC・G说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形•当己知中点或中线应思考这种方法.二•和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4•如图5,在AABC中，ZACB=

7、90°,ZBAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点，且AE=AC,EF//BC交AD于点F,求证：四边形CDEF是菱形.分析：要证明四边形CDEF是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据AD是ZBAC的平分线，AE二AC,可通过连接CE,构造等腰三角形,借助三线合一证明AD垂直CE.求AD平分CE.证明：连结CE交AD于点0,由AC=AE,得AACE是等腰三角形，因为A0平分ZCAE,所以A0丄CE,且0C=0E,因为EF//CD,所以Z1=Z2,又因为ZE0F=ZC

8、0D,所以ADOC可以看成由AFOE绕点0旋转而成，所以OF=OD,所以CE、DF互相垂直平分•所以四边形CDEF是菱形.