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1、浅谈无穷集合及其基数姓名：徐永贺班级：数1001班学号：20103067摘要作为自然数的两大基本理论之一基数理论，我们在这里讨论一下它在无穷集合中的有关性质与特点。在本文小，我们将利用映射，特别是利用一一对应作为工具，建立可数集和连续统集的概念，并研究它们的一些性质，从而得出无穷集合的特征性质（无穷的本质）;然后把有穷集合元素个数的概念推广到无穷集合上去，建立起无穷集合基数的概念；接着建立基数的比较以及基数的算术运算，从而使无穷集合也有了“大小”与“多少”之分；最后，介绍一下集合的一些悖论。首先，我们回顾一下基数理论的概念基数理论：当我们把所有表示数量
2、的符号放在一起就得到了一个集合，我们称之为“数集”，为了度量“数集”当中表示数量的符号个数，我们首先要定义一个概念就是“基数”。19世纪小叶，数学家康托以集合理论为基础提出了自然数的基数理论。等价集合的共同特征称为基数。对于有限集合來说，基数就是元素的个数。口然数就有有限集合A的基数叫做门然数。记作“万”。当集合是有限集时，该集合的基数就是口然数。空集的基数就是0。而一切自然数组成的集合，我们称之为自然数集，记为N。自然数的基数理论以集合论的基本概念为基础。在集合论小，如果集合A和B的元素Z间可以建立一一对应关系，就称集合A与B对等，记作AsB。集合的
3、对等是一种等价关系，即对等关系满足(1)反身性:AsA；(2)对称性：AsB,则BsA；(3)传递性：若AsB,BsC,那么AsC定义1：如果两个集合A、B对等，我们称这两个集合具有和同的基数，集合A的基数记为万，若则规定集合A的基数不小于集合B的基数,即A>B§1可数集“宀启酒竝眄■■■的.誹标刼1.1对等定义1设X,Y是两个集合，若X与Y之间有一个一一对应，则称X与Y对等，记为X〜“〜”这是一个关系，而口是一个等价关系，于是就可以把集合分成几类。1.2可数集定义定义2凡与自然数集合N={1,2,3,…，n,……}对等的集介都称为无穷可数集介,简称可
4、数（或可列集、可列）。说明：（1）以后无特殊说明，N总是代表口然数集。2.“无穷”与''无限”称为同义词，不加区分。类似的，“有穷”与“有限”也是一样。定义3（等价定义）若从自然数集N到集合X存在一个一一对应/：N->X,则称集合X是无穷可数集介，或可数。定义4若X有限或无穷，则称X至多可数。若X不是可数集且也不是有限集，则称X为不可数的无穷集，或不可数集。（但是，在科学上很少有用否定词下定义的）说明：（1）冇限集合既不是可数集也不是不可数集（2）可数与不可数只是对无穷集合而言的。例题例1.所有整数形成的集合是一个对数集。12345G70-11-22小
5、一>5”0-1+1-2*2-3+1123452m4■莒mA明2H当显然，f是一一对应。例2.所有偶数形成的集合是一个可数集。例3.下例集合都是可数集A二｛1,3,5,7,・・•｝,B二｛2,4,6,8,…｝C二｛1,4,9,16,25,…，n2,…｝11111£D二｛1,2,3,…，n,•••｝,E二｛1,于，…，丹‘,•••｝等等。1.3性质由于口然数集合N中元素可以排列一个无穷序列的形式：1,2,3,…，n,…因此与N—一对应的集合A中的元素也可以排列一个无穷序列的形式:反之，对于一个集合A,若A中的元素可以排成上述无穷序列的形式，则A—定是可数的
6、吗？回答是肯定的。因为A中元素&与口然数集合N中元素n之间可以建立起一一对应，所以有：定理1集合A为可数集的充分必要条件是A中的全部元素可以排成没冇重复项的无穷序列：ai,a?,…，an,…形式，GPA={ai,a2,…，a,.,…}。证：二＞设A是可数的，则N与A间存在一个一一对应f,于是A中的元索可以排成一个序列81,a2,a3,•••,an,•••,其中声国_%。U设A的全部元素可以排成没有重复项的序列a】,a2,…，為，…的形式,则A是无穷的，令，则f是从A到N的一个一一对应，从而A是可数的。说明：（1）由此定理知例题中的各个集合都是可数的是显
7、然的。把I排成：0,1,T,2,一2,3,一3,…把偶数集E排成:0,2,-2,4,-4,…等等。（2）冇的书把此定理作为定义。定理2无穷集A必包含有可数子集。证：从A中取一个元素，记为创。因为A是无穷集，所以A{a.}仍是无穷集，故町以在A{a.}再取一个元素，记为出。一•般地，假如已得到了不相同元素念，…，an,那么由于A{a.,a2,…，an)是无穷集，所以又可以从心如％宀中取一个元素，记为轴。如此继续下去，便得到了一个无穷集合M={a.,a2,…，a„,・••}。显然，M是可数集且M匚A。说明：此定理说明可数集是无穷集屮“最小”的。定理3
8、：可数集的任一无限子集也是可数的。证：设A为可数集，则A的全部元素町以排成一个没有重复项的无穷
