有限集合的基数

《有限集合的基数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、9．6有限集合的基数集合的基数就是集合中元素的个数．这一节介绍有限集合的基数和一些结论．无限集合的基数将在以后介绍．9．6．1有限集合的基数定义9．6．1如果存在n∈N，使集合A与集合{x

2、x∈N∧x的元素个数相同，就说集合A的基数是n，记作#(A)＝n或

3、A

4、＝n或card(A)=n．空集的基数是0．定义9．6．2如果存在n∈N，使n是集合A的基数．就说A是有限集合．如果不存在这样的n，就说A是无限集合．9．6．2幂集和笛卡儿积的基数定理9．6．1对有限集合A，定理9．6

5、．2对有限集合A和B，

6、A×B

7、＝

8、A

9、·

10、B

11、．9．6．3基本运算的基数定理9．6．3对有限集合A1和A2，有下述定理通常称为包含排斥原理，它有更多的用途．比较上面定理的第(4)项与包含排斥原理的形式。定理9．6．4对有限集合A1和A2，有

12、A1∪A2

13、=

14、A1

15、+

16、A2

17、-

18、A1∩A2

19、证明(1)若A1与A2不相交，则A1∩A2＝，而且

20、A1∩A2

21、=0，这时显然成立

22、A1∩A2

23、＝

24、A1

25、+

26、A2

27、，(2)若A1与A2相交，则A1∩A2≠，但有

28、A1

29、=

30、A1∩-A2

31、+

32、A1∩A2

33、,

34、A2

35、=

36、

37、-A1∩A2

38、+

39、A1∩A2

40、，此外

41、A1∪A2

42、=

43、A1∩-A2

44、+

45、-A1∩A2

46、+

47、A1∩A2

48、，所以

49、A1∪A2

50、=

51、A1

52、+

53、A2

54、-

55、A1∩A2

56、．下面举例说明定理的应用．例1在10名青年中有5名是工人，有7名是学生，其中有3名既是工人又是学生，问有几名既不是工人又不是学生?解设工人的集合是A，学生的集合是B．则有

57、A

58、＝5，

59、B

60、=7，

61、A∩B

62、＝3，又有

63、-A∩-B

64、+

65、AUB

66、=10，于是得

67、-A∩-B

68、=10-

69、A∪B

70、=10-(

71、A

72、+

73、B

74、-

75、A∩B

76、)=1所以有一名既不是工人又不是学

77、生．对3个有限集合A1，A2和A3，可以推广这个定理，得到

78、A1∪A2∪A3

79、=

80、A1

81、+

82、A2

83、+

84、A3

85、-

86、A1∩A2

87、-

88、A2∩A3

89、-

90、A1∩A3

91、+

92、A1∩A2∩A3

93、例230位同学中，15加体育组，8人参加音乐组，6人参加美术组，其中3人同时参加三个组．问至少有多少人没有参加任何小组?解设A1、A2、A3分别表示体育组、音乐组、美术组成员的集合．则有

94、A1

95、=15,

96、A2

97、=8,

98、A3

99、=6,

100、A1∩A2∩A3

101、=3.因此

102、A1∪A2∪A3

103、=15+8+6-

104、A1∩A2

105、-

106、A2∩A3

107、-

108、A1∩

109、A3

110、+3=32-

111、A1∩A2

112、-

113、A2∩A3

114、-

115、A1∩A3

116、而

117、A1∩A2

118、

119、A1∩A2∩A3

120、=3

121、A1∩A3

122、

123、A1∩A2∩A3

124、=3

125、A2∩A3

126、

127、A1∩A2∩A3

128、=3所以

129、A1∪A2∪A3

130、32-3-3-3=23至多23人参加小组，所以至少7人不能参加任何小组.包含排斥原理的推广若nN且n>1,A1,A2,…,An是有限集合，则9．7集合论公理系统在9．1．3例5中，用谓词定义集合时产生了悖论。防止悖论的方法是使集合论公理化，也就是建立集合论公理系统．集合论公理系统是一阶谓词公理系统的

131、扩展，它包括一阶谓词公理系统和几个集合论公理．集合论公理系统可以推出一阶谓词的所有定理，也可以推出集合论的概念和定理，它防止了集合论中的悖论．在一阶谓词公理系统中，公理和定理都是永真公式．在集合论公理中，少数公理是描述集合性质的，多数公理是构造合法集合的，也就是判定集合存在性的．有的公理构造基本集合，另一些公理由已知集合构造新的集合．利用这些公理，可以构造所有的集合(公理系统中的合法集合)，这就是证明定理．在公理系统中的集合，都是由公理得到的合法集合，以前介绍的外延法和内涵法都不能构造出集合．可以说，集合论公

132、理系统的主要目的是构造出所有合法的集合，即判定集合的存在性、合法性．集合论公理系统的一个基本思想是认为“任一集合的所有元素都是集合”，集合论的研究对象只是集合．除集合外的其他对象(如有序对、数字、字母)都要用集合定义．于是对这些对象的研究也就转化为对集合的研究．在定义9．3．4中，已经用集合定义了有序对．以后将用集合定义自然数．其他数字和字母也可以用集合定义．因为集合的元素都是集合，所以集合最内层的元素只能是空集．例如集合{，{}，{{}，}}，因此，空集是最基本、最重要的集合．公理系统构造的第一个集

133、合就是空集9．7．1集合论公理下面介绍ZF(Zermelo-Fraenkel)公理系统，它包括10条集合论公理。下面依次介绍这10条公理，然后重点说明其中几条．对每条公理都给出一阶谓词公式，论域包含所有集合．(1)外延公理两个集合相等的充要条件是它们恰好具有同样的元素．(x)(y)(x＝y←→(z)(z∈x←→z∈y))(2)空集合存在公理存在不含任何元素的集合(空集)．(x)(y)(y