(上网)无穷集合及其基数习题

《(上网)无穷集合及其基数习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章无穷集合及其基数习题1.设为由序列的所有项组成的集合，则是否市可数的？为什么？解：因为序列是可以重复的，故若是由有限个数组成的集合，则是有限的集合；若是由无限个数组成的集合，则是可数的.故本题是至多可数的.2.证明：直线上互不相交的开区间的全体所构成的集合至多可数.证：在每个开区间中取一个有理数，则这些有理数构成的集合是整个有理数集合Q的子集，因此是至多可数的.3.证明：单调函数的不连续点的集合至多可数.证：设是所有不连续点的集合，是一个单调函数，则对应着一个区间，于是由上题便得到证明.4.任一可数集的所有有限子集构成的集族是可数集合.证：设则且.令，设，则是Ａ的子集的特征函数.｛

2、0，1的有穷序列｝，即，若，则对应1；若则对应0.于是就对应着一个由0，1组成的有限序列0，1，1，0，…，0，1.此序列对应着一个二进制小数，而此小数是有理数.于是，可数集的所有有限子集对应着有理数的一个子集.又对应的小数也不同，故是单射.而可数集Ａ的所有有限子集是无穷的，故是可数的.5．判断下列命题之真伪：(1)若且是满射，则只要是可数的，那么是至多可数的；(2)若且是单射，那么只要是可数的，则也是可数的；(3)可数集在任一映射下的像也是可数的；答案：对，错，错.7．设Ａ是有限集，Ｂ是可数集，证明：是可数的.证：由第四题可得.8.设为一个有限字母表，上所有字（包括空字）之集记为.证明

3、是可数集证１：设有限字母上所有字（包括空字）所形成的集，则是可数的.Ａ1＝{长度为1的字符串}Ａ2＝{长度为2的字符串}　　　Ａn＝{长度为n的字符串}　　　因为Ａi中每个长度都是有限的，而＝，故是至多可数的.又显然是无穷的，故是可数的.证2：不妨假设（令＝也是可以），则可按字典序排序为：.由于的全部元素可以排成无重复项的无穷序列，故是可数的.2.4习题2.找一个初等可数，使得它是到实数的一一对应.解：,或，或3.试给出一个具体的函数，使得它是从到的一一对应.证：中包含一个可数子集可数.——可数的，故.令即为所求.4.证明：若可数，则不可数.（用对角线方法）.5．令，利用康托对角线法证明

4、S是不可数集.