类型四相似三角形的存在探究问题

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1、题型四二次函数与几何图形综合题类型四相似三角形的存在探究问题针对演练1.(2017日照)如图所示，在平面直角坐标系中‘OC经过坐标原点O，且与兀轴，y轴分别相交于M(4，0)，，3)两点.已知抛物线开口向上，与OC交于N、H、P三点、，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D.(1)求线段CD的长及顶点P的坐标；(2)求抛物线的函数表达式；(3)设抛物线交兀轴于A、B两点，在抛物线上是否存在点0，使得S四边形伽$=85k%，且成立,若存在?请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.2・(2015盐城28题)如

2、图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线的对称轴绕着点P(0，2)顺时针旋转45。后与该抛物线交于人、B两点，点Q是该抛物线上一点.(1)求直线的函数表达式；(2)如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值;(1)如图②，若点。在y轴左侧，且点7(0，/)(r<2)是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的/的值.答案1・解：(l)VOC经过M、N、O三点,月.ZMOW是直角,・・・MN是(DC的直径，过圆心C.VM(4,0),N(0,3),・・・OM=4,ON=3,C(2,

3、

4、),・・・MN=pOM1+ON2=-s/4I+32=5,G)C的半径为I；•・•CP所在直线为抛物线的对称轴，其与尢轴垂直，垂足为点DCP为OC的半径，・・・D(2,0),PQ,一1)・(2)・••抛物线的顶点坐标为P(2,-1),・•.可设其抛物线解析式为y=a{x—Tf—1,•••抛物线经过点N(0,3),・・・3=d(0—2)—1,解得d=l・・•・抛物线的解析式为y=(x-2)2-l；(3)VP(2,-1),・・・Z)P=1,•・・0M=4,0N=3,AS四边形OPMN=S△mon+Szmop=^OM•0N~

5、~qOM•DP=8,TS四边形OPMN=8Saqab，•I1.将y=0代入y=(x—2)2—1中,解得x=1或x=3,AA(1,0),B(3,0),・・・AB=2,•••△QAB中AB边上的高为2SaqabAB=1,・••若存在满足条件的点Q,则Q点的纵坐标为1或一1JOB=ON=3,:./OBN为等腰直角三角形，•：bOBNs厶QAB,:.AQAB为等腰直角三角形，当点Q在x轴上方的抛物线上时，△QAB的三个内角均不可能为直角，・••点Q不可能在x轴上方；当点Q在兀轴下方时，ZQAB与ZQB4也不可能为直角，则只需考虑

6、ZAQB是直角的情况:当ZAQB是直角时，VAQAB是等腰直角三角形,:.AQ=BQ,则点0也在抛物线的对称轴上,・••点Q为抛物线的顶点.当0(2,—1)时，其纵坐标为一1,满足条件，且AQ=BQ=迄,9：AB=2,AQ2--BQ2=AB:.ZAQB为直角，为等腰直角三角形，满足题意.综上所述：抛物线上存在点Q(2,—1),使得S四边形opmn=8Saqa/p且△QABs/BN・2.解：(1)设直线AB的函数表达式为y=kx+b,•・•直线AB与x轴夹角为45。，二Z:=tan45°=1,得b=2,故直线AB的函

7、数表达交AB于点C,再过点0作直线将点P(0,2)代入尸兀+b中,式为y—x~~2；(2)过点0作兀轴的垂线0C,AB的垂线，垂足为D,如解图①,第2题解图①根据条件可知△QDC为等腰直角三角形,・•・QD=¥qC・设Q(m,m2),则C(/7t,/7?+2)91八9QC—m~~2—m=—(m_刁+才,QD=^QC=^[—(m—

8、)2故当加=为寸，点0到直线AB有最大距离冷(3)VZAPT=45°,:.'PBQ中必有一个内角等于45°,由解图知ZBPQ=45°不合题意.①若ZPB2=45°,过点B作兀轴的平行线；与抛物

9、线和y轴分别交于点Qi，F,此时满足ZPBQi=45。,•••0(—2,4),F(0,4),・・・此时△BP0为等腰直角三角形，由题意知也为等腰直角三角形.(门当/戶加为直角时，得PT=AT=1,此时尸1,(ii)当ZPAT为直角时，得PT=2,此时尸0,/VA/0X第2题解图②②若ZPQB=45。，①中是情况之一,答案同上；现以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q],都在OF±,设。F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q"・・・ZPQ2B与ZPQ】B所对的弧相同，・•・"仙="03=45。，即交点02也符合要求.设Q2（弘

10、/）（—2V〃V0）,由F02=2,得/?+（4—对2=2,即n4—7h2+12=0,解得：n=3或/=4,而一2V〃V0,故n=_百,即02（—羽，3）,可证得ZiPFa为等边三角形，所以ZPFQ2=60°9又VPQ2=PQ2,:.ZPBQ2=^ZPFQ2=30°9则在3028中，"3=45。，ZPB