类型1-二次函数与相似三角形的存在性问题

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1、类型1二次函数与相似三角形的存在性问题21．如图，已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点．(1)求这条抛物线的解析式；(2)P为线段BC上的一个动点，过P作PE垂直于x轴与抛物线交于点E，设P点横坐标为m，PE长度为y，请写出y与m的函数关系式，并求出PE的最大值；(3)D为抛物线上一动点，是否存在点D使以A、B、D为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．类型1二次函数与相似三角形的存在性问题123(1)抛物线的解析式为y＝x＋x＋2.22(2)设B、C所在直线的解析

2、式为y＝kx＋b.把B(4，0)，C(0，2)代入，1解得k=，b=221∴BC所在直线的解析式为y＝x＋2.21123设P点坐标为(m，m＋2)，则E(m，m＋m＋2)．222123112

3、PE

4、＝yE－yp＝m＋m＋2－(m＋2)＝(m－2)＋2，即y222212＝(m－2)＋2.2∴当m＝2时，y取最大值2.OAOD1(3)存在．①当点D位于C点时，＝＝，∠AOC＝∠COB.ODOB2∴△AOD∽△COB.∴∠ADO＝∠CBO.又∠CBO＋∠BCO＝90°，∴∠ADO＋∠BCO＝90°.∴△COB∽△ADB.∴D点坐标为(0，2)．②

5、在对称轴右侧作C点关于对称轴对称的D′.易证△ACB≌△BD′A，此时有△COB∽△BD′A.∴D′坐标为(3，2)．故存在D(3，2)或(0，2)，使以A、B、D为顶点的三角形与△COB相似．类型2二次函数与平行四边形的存在性问题2如图，抛物线y＝x－2x－3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在

6、，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．类型2二次函数与平行四边形的存在性问题2(1)当y＝0，即x－2x－3＝0时，x1＝－1，x2＝3，可知A(－1，0)，B(3，0)．∵C点横坐标为2，2∴C点纵坐标为y＝2－2×2－3＝－3.∴C点坐标为(2，－3)．(2)设A、C所在直线解析式为y＝kx＋b.由A(－1，0)，C(2，－3)求得k＝－1，b＝－1.∴AC所在直线解析式为y＝－x－1.抛物线对称轴为x＝1，B点关于对称轴对称的点为A，可知当P为对称轴与直线l的交点时，△PBC的周长最小．x＝1，联立方程y＝－x－1，解得P(1，－2)

7、．(3)F1(4＋7，0)，F2(4－7，0)，F3(1，0)，F4(－3，0)．类型3二次函数与直角三角形的存在性问题2如图，已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求线段BC所在直线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出此点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．类型3二次函数与直角三角形的存在性问题2(1)抛物线的解析

8、式为y＝－x－2x＋3.直线的解析式为y＝x＋3.(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把x＝－1代入y＝x＋3得：y＝2.∴M(－1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(－1，2)．(3)设P(－1，t)，又B(－3，0)，C(0，3)，22222222∴BC＝18，PB＝(－1＋3)＋t，PC＝(－1)＋(t－3)＝t－6t＋10.22222①若点B为直角顶点，则BC＋PB＝PC，即18＋4＋t＝t－6t＋10，解得t＝－2；22222②若点C为直角顶点，则BC＋PC＝PB，即18＋t－6t＋1

9、0＝4＋t，解得t＝4；22222③若点P为直角顶点，则PB＋PC＝BC，即4＋t＋t－6t＋10＝18，317317解得t1＝，t2＝22317综上所述，P点的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，)或(－23171，)．2类型4二次函数与等腰三角形的存在性问题1.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，直线y＝kx－1与抛物线交于A，C两点，其中A(－1，0)，B(3，0)，点C的纵坐标为－3.(1)求k值；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点P的坐标；如果不

10、存在，请说明理由．类型4二次函数与等腰三角形的存在性问题1(1)把