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《解题研究的一个片断》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、鮮题研屯的一个片断張黎庆数学老师解数学题、研究解题是必修课z—,有时在与学生、同事一起做题时会有一些思维碰撞后的火花，如果能及时记录在案，供自己阅读欣赏或与他人探讨，也是一件趣事。下面摘录一个片断。原题：已知函数/(兀)=疋+心+4+邑+以兀0/?,且兀工0).若实数°、b使得f(x)=0XX有实根，则a2+b2的最小值为()(A)±5(B)14(C)1(D)2这是07年北京海淀区高三数F期中试题中的第8题，以卜•记录本题的四种解法及点评.【解法1】将f(x)=x2+ax+-^-+—+b改写为:XX/(")=(I)人(21)xH—a+b+x
2、H—t・＜兀丿9对丿=0(1)(1A(令f(d)=0nx+—a+b+x2设为直线(1)上一点，则OMf=a2-^b2.乂设原点到直线(1)的距离为d,那么、2cl2=a2+b2=°(1丫Ix+—+1＜兀丿92一9+919"+亠_3+——旷宀4+371=(兀—H—亍+3)—x兀2+三.+3-61o再令r=兀-+—+3,贝ij/n5.由于/(/)=/+——6在/w[5,+8)上增,故Xt[/(Z)]min=/(5)=5+
3、_6=
4、•也就是/+戻的最小值为土’选(A)【评注】谁都知道，不论是函数还是方程，一次式比二次式简单得多.本解巧妙地“反
5、客为主”，达到了化繁为简，化难为易的目的.【解法2】y(x)=+b•令=r,则有:Xf(t)=t2^at+b-2(
6、r
7、>2).注意到抛物线f(/)的开口向上且与t轴有
8、r
9、>2的交点,还注意到抛物线的对称轴心-評在(・2,2)其图彖有且仅有如下三种情况：内,否则将有a>4,a2+b2Z值太大.因此+a'丄11)k兀丿【解法3】f(x)=+b•在上述三种情况中,/(-2)<0,或/⑵<()至少有一个成立，也就是b5—2d—2或b52d—2至少有一个成立.在直角坐标系c/Ob屮，符合条件的点集在图4所示的区域中：由图可知，原点到该区域中点
10、的距离的最小值即线段OM或ON的长度，不论用解析法或几何法4都容易求出这个值是一，故选A.5【评注】本解的棊本特点是数形结合，直观易懂令尤+丄=/,则有：/(r)=z2+>2)X这里/(r)=0即八+川+b-2=0有M>2的实数根.为使a2+b2最小，则qhO.否则若a=Q,则方程t2+b-2=0中，令m2,则b=2-t2<-2,于是/+心4,这个值太大.我们又注意到为使a2+b2小，则g<2且bv2,否则若/>2或仍然有a2+b~>4,值太大..于是我们知道，为使/+戻取得最小值，必须。工0,a<2且bv2.在这种情况下,方程r2+^+/
11、?-2=0冇异号二实根.既是ghO,根据对称性，我们不妨设a<2，此时r+at+b-2=QZ二根为:-a土英中负根/严土庄亘的绝对值更小.令去>2=>—ci—yjci2—4/?+8/-27；o.A<-2=>-cr一4b+8Wa-42a2-4b+S>16+Sa+ci2a<-b-2^>-a>h+2.+7.55故选A.244当且仅当方=,从而d=时,（a2+b2）min=—.【评注】和前两种解法相比，本解冇点繁杂.可是多数学生容易走这条道路，只是不容易坚持到底.这是因为在解题接近成功Z时，由于不善于处理变量的不等关系，从而半途而废，功亏一赞•这
12、电根据/+沪必须取最小值而合理增加解题条件，终于破题成功.【解法4】（特殊值法）仿照解法1,将.f（x）改写为:f（a,b）=at^b-^t2-2（t>2）.令f(a,b)=0=>at-^-b+t2-2=0(1)注意到
13、r
14、>2，则在直角处标系aOh中，原点到直线（1）的距离乂令+1=加,那么d=加一丄仏二腭）（2）m在四个选项中，排除（C）、（D）是很容易的，只须从选项（A）.（B）中确定一个.假定（A）成立,代入（2）,显然方程加一2=丄冇符合条件的解:my/5m=V5,据此我们已经可以肯定（A）而排除（B）…反乙假定（B）成立，即
15、冇―,代入（2）,得方程加2—=——=>2加2——6=0m2（3）.4故此函数在关于m的二次函数g（加）=2/7?2-4m-6的対称轴为m[V5,+oo）上增，其最小值为g茁）=4-届〉0.这说明方程（3）不存在m>V5的实数解.也就是d伽=竺不能成立，故排除（B）,选（A）.2小结：作为一道小题，本题的难度可不小，不仅学生，不少数学教师也感到相当棘手•可是在高考试题中出现个别“小题不小”的事早已是累见不鲜，而口这类题常能引起大范围的争论，从而带动解题研究的深入发展.所以我们认为：研究这类题的解法是很有价值的.
