李亚飞终稿论文

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1、目录中文摘要关键词(II)1、绪论(1)2、预备知识(1)2.1二次型的相关定义(1)2.2二次型的相关定理(2)3、正定二次型和正定矩阵的判定方法(7)3.1定义法(7)3.2正定二次型和正定矩阵等价判定(8)4、正定矩阵常见的性质(12)5、止定二次型和正定矩阵的简单应用(18)5.1解题中的应用(18)5.2极值问题中的应用(20)5.3几何中的应用(23)5.4统计屮的应用(25)6、结论(26)参考文献(27)外文摘要关键词(III)浅谈正定二次型的性质和应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师蔡炳苓作者

2、李亚飞摘要二次型这一章节形式上在高等代数屮是独立的，但它与矩阵的性质、特征值、特征向量、Mathlab+矩阵的求解和线性变换等有很大的联系，并且它的求解计算等思想又丰富了矩阵的计算和解析几何屮二次曲面等知识。二次型的讨论对象是二次函数，二次型在物理、统计、几何、极值等问题中有广泛的应用。其中正定二次型因其特殊的地位在许多应用和理论研究中有很大的实用价值，本文简单介绍了二次型的相关定义：如正定矩阵、特征值等；概括解题中的正定二次型和正定矩阵判定定理和等价条件：如正定炬阵顺序主子式大于零等；总结了一些性质、应用和证明；重点举例

3、在解题屮的若干定理和性质，进行了总结和推广并研究它的一些简单的应用。关键词正定二次型，正定矩阵，可逆矩阵，主子式，特征值TT1绪论在实二次型中正定二次型占有特殊的地位，正定二次型和它相互唯一决定的正定矩阵是我们探讨研究的重点，以下我们介绍二次型讨论的常用手法，指出正定二次型的地位，给出实用性较强的定理和经典例题，通过实例我们更好的了解正定二次型和正定矩阵的魅力。2预备知识2.1二次型的和关定义定义1设P是一数域，一个系数在数域P中的坷，兀2,…，兀的二次齐次多项式/（州,勺,…，兀“）=4]彳+2也2舛兀2+…+2ainX

4、lXn+°22兀；+•…+2°2,丿2兀”++色“丿：称为数域P上的一个斤元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型.定义2设X],兀2,…,兀”，丁1，，2,…,儿是两纽•文字，系数在数域P屮的一组关系式兀]=5*]+52)‘2+・・・+5儿兀2+©22力+・・・+。2“儿V无=C”J+C“2)‘2++C””儿称为由州，勺，£到…,儿的一个线性替换(简称线性替换).如果系数行列式0]C]2…C]“C21C22…C2n工0••••••••••••502…%则称线性替换是非退化的.anM+an2XnX2+…+佥工=H®用®i

5、=lj=l定义3令aij=aji,i

6、CAC即得A=（C_,BC~｛；⑶传递性：由a,=c,ac,m2=c2a,c2即得血=（CG）y（CG）・定义5二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型d

7、+…+d“x；是二次型的标准形.定义6二次型中标准形的系数只为1,・1或0的，是二次型的规范形.定义7在实二次型/（州,兀2,…,£）的规范形屮，正平方项的个数卩称为f（兀］,兀2,x”）的正惯性指数;负平方项的个数r-p称为/*（兀］，兀2,…忑）的负惯性指数;它们的差p-（r-p）=2p-r称为f（兀］,兀2,…，兀）的符号差.定义8设Z是数域P上线性空间V的一

8、个线性变换，如果对于数域P中一数入，存在一个非零向量使得Z<=20<,那么入）称为Z的一个特征值，而/称为Z的属于特征值入的一个特征向量.2.2二次型的相关定理肚理1二次型可以用矩阵的乘积表示出来证明令X=x：有■a2(X】XfAX=(坷，兀2,…•心)a2•••。22•••…a2n••••••兀2•••a“2…ann7"丿a2}x}+a22x2(勺內+G/2+…+仏兀「（兀］，兀2,…心）+•••+%£2“內+%2兀2+・・・+仏兀”=工工纠）兀®=/（西，％2,•••,£）f=l;=1这说明二次型可以用矩阵的乘积

9、表示出来.我们把二次型用炬阵表示出来，并且二者之间是相互唯一决定的.注意：任给A=（aij）eRllx,1那么XJ4X都是二次型，但此二次型的矩阵不一定是A,因为A不一定是实对称阵，因此二次型的矩阵是B=（m其屮b=au+aji0,丿=1,2・・“)这时Br=B・例1判断二次型<11000)/、1300