2015考研数学讲解之泰勒公式的应用

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1、考研论坛----考研人的精神家园“画龙点睛”数学专题讲解（六）：泰勒公式的应用泰勒公式有广泛的应用，极限的计算、不等式的证明、近似计算和误差估计，它是考研的一大热点．但是近年考研大纲已经将“近似计算和误差估计”的有关要求全部删除了，现在只剩下极限计算和不等式证明了。请考生注意。在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：●1．展开的基点；●2．展开的阶数；●3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．【声明】资料整理改编自龚成

2、通。2x26esinxx6(7x)limx01x23ln2x3(x)【例1】求极限1x；【分析】本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂．用泰勒公式就会方便得多．基点当然取在考研论坛x0点，余项形式也应该肯定是皮亚诺余项．问题是展开的阶数是几？一般是这样考虑：逐阶展开，展开一项，消去一项，直到消不去为止．222xxx首先将分子上函数6esinx进行展开，为此写出e和sinx的泰勒展开式．e的2x第一项是1，sinx的第一项是x，所以6esinx的第一项是6x

3、，与后面的6x消去了．再2x3将它们展开一项，得到6esinx的前两项是6x7x，所以还要将它们再展开一项．对于分母也是一样．x2214513156e1xxo(x)sinxxxxo(x)【解】!2，!3!5，1bbs.kaoyan.com考研论坛----考研人的精神家园x2732755esinxxxxo(x)640，121314155ln(1x)xxxxxo(x)2345，121314155ln(1x)xxxxxo(x)2345，1x23255lnln(1x)ln(1

4、x)2xxxo(x)1x35，2755xo(x)40limx06559xo(x)原式516．222x(x1x)12xlimx22112x2xcos【例2】求极限x．【解析】本题与上题一样，如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也是能计算的，但必须要用四次洛必达法则，而且导数会越求越复杂．1t为了方便地使用泰勒公式可以先做换元x（倒数置换法）．11t21t22tlimx2【解】原式t0t考研论坛22cost12144121441[tto(t)]1[tto(t)]2

5、2828limt0212144t21[2tto(t)]!2!4144to(t)4lim3t0144to(t)12．limf(x)100limf(x)0limf(x)0【例3】若x，且x，试证明x．2bbs.kaoyan.com考研论坛----考研人的精神家园f(x)(a,)【分析】由题意可知函数在无穷远点的某个左邻域[即]内有二阶导数，在题意中没给出更高阶的导数是否存在的条件，就不能用了．这里的极限问题的趋限过程不像上面的是趋向于0或者可以转化为趋向于0，所以，余项的形式

6、也不能取皮亚诺余项的形式了．所以要展开泰勒公式，只能展开到一阶为止，把二阶导数作为拉格朗日余项表达式的需要．limf(x)0由于最后要证明（计算）的是x，所以展开的基点只能取x，而f()2f(xx)f(x)f(x)x(x)!2中的x应该取一个常数，例如就取x1．f(x)1【解】写出函数在基点x处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，f()f(x)1f(x)f(x)!2，xx1，f()f(x)f(x)1f(x)所以有!2，limf(x1)limf(x)100在此

7、等式两边同时取x时的极限，其中xx，limf()limf()0xx1x由可知在x时有，，所以有f()limf(x)limf(x)1limf(x)lim10010000xxxx2!，【例4】设f(x)在]1,0[上具有二阶导数，且满足条件考研论坛f(x)a，f(x)b，其中a、bf(x)2ab为非负常数．证明对任意x)1,0(，有2．f(x)【分析】一般给出条件中函数有二阶导数，则可用以二阶导数作为余项的一

8、阶泰勒公式来证明，展开基点的选定可综合考察题目所给定条件及所需证之结论，这里为便于将结论f'(x))1,0(中的表示出来，可将基点选取在内任意取定的x点处．f(x)]1,0[【证明】在上具有二阶导数，则由泰