概率算法讲义

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1、第10章概率算法学习要点理解产生伪随机数的算法掌握数值概率算法的设计思想掌握蒙特卡罗算法的设计思想掌握拉斯维加斯算法的设计思想掌握舍伍德算法的设计思想1引言前面几张所讨论的分治、动态规划、贪心法、回溯和分支限界等算法的每一计算步骤都是确定的，本章所讨论的概率算法允许执行过程中随机选择下一计算步骤。在多数情况下，当算法在执行过程中面临一个选择是，随机性选择常比最优选择省时，因此概率算法可在很大程度上降低算法复杂性。概率算法的一个基本特征是对所求解问题的同一实例用同一概率算法求解两次可能得到完全不同的效果(所需时间或计算结果)。本章

2、将要介绍的概率算法包括：数值概率算法求解数值问题的近似解，精度随计算时间增加而不断提高舍伍德算法消除算法最坏情形行为与特定势力之间的关联性，并不提高平均性能，也不是刻意避免算法的最坏情况行为拉斯维加斯算法求解问题的正确解，但可能找不到解蒙特卡罗算法求解问题的准确解，但这个解未必正确，且一般情况下无法有效判定正确性2随机数随机数在概率算法设计中扮演着十分重要的角色。在现实计算机上无法产生真正的随机数，因此在概率算法中使用的随机数都是一定程度上随机的，即伪随机数。线性同余法是产生伪随机数的最常用的方法。由线性同余法产生的随机序列a0

3、,a1,…,an满足其中b0，c0，dm。d称为该随机序列的种子。如何选取该方法中的常数b、c和m直接关系到所产生的随机序列的随机性能。这是随机性理论研究的内容，已超出本书讨论的范围。从直观上看，m应取得充分大，因此可取m为机器大数，另外应取gcd(m,b)=1，因此可取b为一素数。3数值概率算法一、用随机投点法计算π值二、计算定积分三、解非线性方程组4一、用随机投点法计算π值设有一半径为r的圆及其外切四边形。向该正方形随机地投掷n个点。设落入圆内的点数为k。由于所投入的点在正方形上均匀分布，因而所投入的点落入圆内的概率为

4、　　　。所以当n足够大doubleDarts(intn){//用随机投点法计算值staticRandomNumberdart;intk=0;for(inti=1;i<=n;i++){doublex=dart.fRandom();doubley=dart.fRandom();if((x*x+y*y)<=1)k++;}return4*k/double(n);}5二、计算定积分设f(x)是[0，1]上的连续函数，且0≤f(x)≤1。需要计算的积分为,积分I等于图中的面积G。在图所示单位正方形内均匀地作投点试验，则随机点落在曲线下面的

5、概率为假设向单位正方形内随机地投入n个点(xi,yi)。如果有m个点落入G内，则随机点落入G内的概率6三、解非线性方程组求解下面的非线性方程组其中，x1,x2,…,xn是实变量，fi是未知量x1,x2,…,xn的非线性实函数。要求确定上述方程组在指定求根范围内的一组解x1*,x2*,…,xn*。在指定求根区域D内，选定一个随机点x0作为随机搜索的出发点。在算法的搜索过程中，假设第j步随机搜索得到的随机搜索点为xj。在第j+1步，计算出下一步的随机搜索增量xj。从当前点xj依xj得到第j+1步的随机搜索点。当x<时，取为所求

6、非线性方程组的近似解。否则进行下一步新的随机搜索过程。77舍伍德(Sherwood)算法设A是一个确定性算法，当它的输入实例为x时所需的计算时间记为tA(x)。设Xn是算法A的输入规模为n的实例的全体，则当问题的输入规模为n时，算法A所需的平均时间为这显然不能排除存在x∈Xn使得　　　　　　的可能性。希望获得一个概率算法B，使得对问题的输入规模为n的每一个实例均有这就是舍伍德算法设计的基本思想。当s(n)与tA(n)相比可忽略时，舍伍德算法可获得很好的平均性能。8一、线性时间选择算法快速排序算法、线性时间选择算法P206有时也会

7、遇到这样的情况，即所给的确定性算法无法直接改造成舍伍德型算法。此时可借助于随机预处理技术，不改变原有的确定性算法，仅对其输入进行随机洗牌，同样可收到舍伍德算法的效果。例如，对于确定性选择算法，可以用下面的洗牌算法Shuffle将数组a中元素随机排列，然后用确定性选择算法求解。这样做所收到的效果与舍伍德型算法的效果是一样的。templatevoidShuffle(Typea[],intn){//随机洗牌算法staticRandomNumberrnd;for(inti=0;i

8、andom(n-i)+i;Swap(a[i],a[j]);}}9二、搜索有序表有序字典是表示有序集很有用的抽象数据类型，它支持对有序集的搜索、插入、删除、前驱、后继等运算；有许多基本数据结构可用于实现有序字典。下面讨论用数组表示有序集。P20810三、跳跃表舍伍