控制系统的时域分析3

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1、§3.5一阶系统的时域分析控制系统中输出信号和输入信号间的关系可用一阶微分方程描述的称为一阶系统。i(t)+r(t)c(t)+（a）电路图RC图3-6RC电路其中c(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。微分方程为如图3-6的RC串联电路即为常见的一阶电路。或3.5.1数学模型1当初使条件为零时，其传递函数为这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。以下分别就不同的典型输入信号，分析该一阶系统的时域响应。图3-6RC电路R(s)C(s)（c）等效方块图R(s)C(s)（b）方块图I(s)×23.5.2一阶系统单位阶跃函数

2、响应因为单位阶跃函数的拉氏变换式为：而系统的传递函数为：对上式取拉氏反变换，得则在单位阶跃信号作用下系统的输出为：上式中cs(t)=1为稳态分量，其变化由输入信号的形式决定；为暂态分量，其变化由闭环极点决定；当t→∞时，ct(t)按指数规律衰减到零，c(t)中只剩下稳态分量。3传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。响应曲线在t≥0时的斜率为1/T。如果系统输出响应的速度恒为1/T，当t＝∞时，输出c(t)就能达到其终值。由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零

3、。时间常数T取值越小，一阶系统的过渡过程进行得越快；时间常数T取值越大，一阶系统的过渡过程进行得越慢。实际工程中，当t=4~5T时，即认为过渡过程已经结束。图3.743.5.3一阶系统的单位速度函数响应令r(t)=t，则有则由单位速度信号函数输入的一阶系统闭环输出的拉式变换为：对上式求拉氏反变换，得：5因为所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差ess(t)为上式中cs(t)=(t-T)为稳态分量，是一个与单位斜坡输入信号斜率相同的斜坡函数,但在时间上滞后一个时间常数T。为暂态分量，按指数规律变化；当t→∞时，ct(t)按指数规律衰减到零，其速度

4、由极点决定。3.86上式表明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同②由于系统存在惯性，当r(t)从0上升到t时，对应的输出信号c(t)在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号产生的稳态误差。73.5.4一阶系统的单位脉冲响应当输入信号为理想单位脉冲函数时，即r(t)=δ(t)，则R(s)＝1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即这时的输出称为脉冲响应，记作g(t)，对上式取拉氏反变换，得8鉴于工程上理想单位脉冲函数不可能

5、得到，而是以具有一定脉宽和有限幅度的脉冲来代替。因此，为了得到近似精度较高的脉冲过渡函数，要求实际脉冲函数的宽度h与系统的时间常数相比应足够小，一般要求h<0.1T。称上式为一阶系统的脉冲过渡函数，或叫权函数。脉冲过渡函数k(t)中只包含暂态分量，而稳态分量为零。特性曲线示于图3．9中。93.5.5一阶系统的单位加速度响应令，则有则由单位加速度信号函数输入的一阶系统闭环输出的拉式变换为：10上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。对上式求拉氏反变换，得：则11表1:一阶系统对典型输入信号的响

6、应t1(t)1传递函数输出响应输入信号频域输入信号时域123.5.6性能指标1.调整时间ts：经过时间4T～5T，响应曲线已达稳态值的95%～98%，可以认为其调整过程已完成，故一般取ts=(4～5)T。2.稳态误差ess：系统的实际输出h(t)在时间t趋于无穷大时，接近于输入值，即3.超调量Mp：一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，故系统无振荡、无超调，Mp=0。13§3.6二阶系统的时域响应3.6.1二阶系统的数学模型典型二阶系统的结构图如图3-14所示。其闭环传递函数为或图3-14典型二阶系统结构图其中ζ——系统的阻尼比ωn——系统的无阻

7、尼自然振荡角频率——系统振荡周期14系统的特征方程为特征根为系统的特性可以由ζ和ωn两个参数来描述，在典型输入信号作用下ζ取值不同，系统可以有不同的响应状态。153.6.2二阶系统的单位阶跃响应1.当ζ>1时，系统有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。两个不相等的负实根为单位阶跃信号作用下系统响应为16则对求拉氏反变换，得17当时，系统的过渡过程时间可近似为：图3-15过阻尼二阶系统单位阶跃响应当时，系统的超调量：182.当0<ζ<1时，系统有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼状态。在欠阻尼状态下，系统的两个闭环极点为一对共轭复数极点，即其中，

8、称为有阻尼振荡角频率。∴19对上式进行拉式反变换，得瞬态分量稳态分量式中：20对应0<ξ<1时的过渡过程，为衰减的正弦振荡曲线，见图所示。其衰减速度取