集合基础知识精要

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1、集合基础知识精要基础知识梳理一、集合的基本概念及表示方法1•集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体式由这些对象的全体构成的集合,简称,通常川人写字母A、B、C...表示。集合的每个对象叫做这个集合的元素，通常川小写字母a、b、c…表示°2.集合屮元素的特性(1)确定性设A是一个给定的集合，a是某一个具体的对象，则a是A的元素，或者a不是A的元素，两种情况中必有一种且只有一种情况。(丘和也<2；互异性集合中元素必须是互异的。也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。即集合中的元素是不重复的，两个或者两个

2、以上的相同的元素都认为是一个元素，在用列举法表示时也只能写一•个,例如方程x2+2x+l=0的解组成的集合A,必须写成A=｛-l｝o(3丿无序性集合中的元素不考虑顺序，对丁元素相同而排次序不同的集合认为是相同的集合，例如集合｛1,234｝・集合｛2,4,3,1｝是相同的集合。3.集合的分类集合可以根据它含有的元索的个数分为三类：含有有限个元素的集合叫做,含有无限个元素的集合叫做,不含有任何元素的集合叫做。4•集合的衣示方法(1)列举法把集合中的元素一一列举出来，并川花括号表示起来的集合的方法。是用列举法时，需要注意以下儿点：•元素间用分隔号“，”；

3、•元素不重复；•元索无顺序；•对于含有较多元索的集合，如杲构成该集合的元索明显有规律，可川列举法，但是必须把元索的规律显示清处后才能用省略号。例如：由方程X2-4=0的所佇解组成的集合可以表示为｛・2,2｝。(2)描述法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在花括号内表示集合的方法，即｛xWA

4、p(x)｝.其屮竖线“

5、”左边表示集合的代表元素，右边表示集合屮元素满足的条件。对于描述法，不能只把注意力放在竖线“

6、”右边“p”适合的条件，还要对竖线左边的形式引起足够的重视。如：所有的航角三角形的集合可以农示为｛x

7、x是直角三角形｝。(

8、3)图示法为了形象的表示集合，我们通常画-条封闭的曲线，用它的内部來表示一个集合。如图所示，表示集合｛135,8｝。5、空集不含有任何元素的集合叫做空集，记作0规定：空集是任何集合的子集。注意：（1）空集是没有任何元素的。要区分0和0｝,集合｛0｝中有1个元素0,而0中没有任何元素，两者有着本质的不同。（2）空集在实际问题中是实实在在存在的，如在实数范围内方程X2+1=0的解集和不等式x2+K0的解集都是空集。6、常川数集的符号为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的字母表示，下血是几种常见的数集表示方法，请牢记：•全体非负整数组成的集合通常简称非

9、负整数集（或自然数集），记作N；•非负整数集内排除0的集合，简称为止整数集，衣示成N*（或者N+）；•全体整数组成的集合通常简称为整数集，记作Z；•全体有理数组成的集合通常简称为有理数集，记作Q;•全体实数组成的集合通常简称为实数集，记作R;值得注意的是数集N,N*（或N+）的意义以及书写形式，切不可写成。。。。。。。二、集合间的关系1、包含关系如果任意xeA->xEB,则集合A是集合B的子集，记作ACB或B3A。显然，任何集合是它自身的子集，即A^A；空集是任何集合的子集，即0A。2、相等关系对于两个集合A、B,如果AGB,同时BGA,那么集合A

10、和集合B相等，记作A=B«显然，两个相等的集合的元素完全相同。3、真包含关系对于两个集合A、B,如果ACB,并且AHB,称集合A是集合B的真子集，记作AB。显然，空集是任何非空集合的真子集；若AB,则B中至少存在一个元素不属于A。三、集合与集合间的运算1>并集一般地，对于给定的集合A、B,把所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作AUBo2、交集一般地，对于给定的集合A、B,把所有属于集合A冃属于集合B的所有元索构成的集合，叫做A与B的交集，记作AABo3^全集与补集含有所有要研究的各集合的全部元素的集合称为全集，一般可记

11、作U,全集是相对的。若集合A是集合U的子集，则全集中不属于A的元索组成的集合称为A的补集，记作［“A。4、集合屮常川的运算性质1）若ACB,BCA,则A二B；若ACB,BCC,贝UAUC；2）0ca,若AH0则0A；3）AAA=A,AAB=BAA,AA0=04）AUA=A,AUB=BUA,AU0：A；5)AD([^)=0AU(S)=U；6)(AAB)cac(AUB)；7)h(AQB)二(1uA)U(4b),Cu(AUB)=((/)A(^B)；8)若AGB,贝IJAQB二A,AUB=B,反之亦成立。四、有限集的子集个数公式设有限集A小有n个元素，则A

12、»PA的子集有25个，其中真子集的个数为25J个，非空子集的个数为2^-1个，非空真子集个数为25・2个。