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1、浅谈三角恒等变换的“切入点”海南侨中马莉摘要：本文主要针对学生遭遇三角恒等变换时不知如何下手的问题，着重从角的变换这一角度，分三个方面以典型例题论述了三角恒等变换的切入点问题，以帮助学生第一时间找到解题思路。关键词：三角函数，恒等变换，切入点三角恒等变换是近几年高考的热点内容，同时也是学生学习的难点•因为涉及的公式数量较多，形式多样，技巧灵活，导致学生面对问题时常常感觉难以找到切入点，有时甚至用错公式，导致陷入“泥潭”而难以自拔•在由众多公式及变形组成的错综复杂的解题思路中，如何突出一条主线，让学生面对问题时能
2、够迅速找到切入点及解题方向？很多教辅资料中都就此问题做过专题，给出了种种巧妙的解题技巧，但仔细研究不难发现，所谓的技巧大都是基本公式的变形•过多的变形形式不仅没有帮助学生有效解题，反而增加了他们的思维负担.个人认为，最有效的切入点应该是“角的变换”•三角的问题首先是研究“角”，所以角的变换应该是需要第一考虑和解决的问题•学生在学习过程中，应尽量抛弃令人眼花缭乱的“技巧”，追本溯源，从公式本身出发，熟悉公式特点，做基本的角的变换，把题目中涉及的不同的角化为相同，或找到不同角之间的关系.现行的人教新课标版教材“三角
3、恒等变换”部分，删除了老教材中的积化和差、和差化积公式，只介绍了和差角及二倍角两组公式，同时在例题、习题中多次设置了不同的角的变换的习题，如:140页例2,137页及143页部分习题•这一做法减少了公式的数量，其弱化技巧，注重“角”的意图非常明显•作为教师，把握了教材的这一编写意图，可以更好地引导学生的解题思路.下面，本文将从三个方面举例说明角的变换问题.一直接寻找和、差、二倍关系课本例题习题中涉及到的变换方法包括：(4+0)-0二&,(&-0)+0二(g+0)+(q-0)=2q,(Q+0)-(a-0)=20,
4、°+0~=a,22竺也-纟二等等，都是直接的求和、求差，或者是诸如Q与竺、纟与纟的二倍关22224系，没有出现复杂形式•以上各种变换，有时需要正用，把复角变为单角，有时又需要逆用,把单角拆分成复角之间的关系.例1：已知sin(2a+0)=2sin0,求证：tan(a+0)=3tan◎・分析：无论问题多么复杂，首先看角。已知条件中有角2g+0、0,所求证结论中包括角4+0、如果只看符号，把问题全化为角&和0,就会陷入误区，根本无法得解。观察条件中的角，发现都可以拆成结论中两个角的和或差：2q+0=(q+0)+q,
5、0=(4+0)一&,问题马上迎刃而解.解:Tsin(2a十0)=2sin0sin(2(7+0)=sin[(a+/?)+a]=sin(a+0)cosa+cos(a+0)sina,sin0=sin[(a+0)-q]=sin(«+0)cosa一cos(cr+0)sina,/•sin(a+0)cosa+cos(cr+0)sina=2sin(a+0)cosa-2cos(q+0)sina,•:sin((7+0)cosa=3cos(«+0)sina.两边同时除以cosq・cos(q+0),得tan(6r+/?)=3tan,问
6、题得证.jiI例2：(2011辽宁理科，7)设sin(—+0)=上，则sin20=()7117(A)——(B)——(C)一(D)一99997T分析：所求的角20与已知条件中的角&存在二倍关系，但是已知角-+0的二倍是4JT-+20,所以还需要用到诱导公式进行角的变换.2JTJT7解：sin20=-cos(20+—)=2sin'(—+&)-1=——，故选A。249二借助“多余角”发现关系有时候，寻找突破点恰恰需要观察那些无关紧要的角，去掉“多余角”的过程中，恰好也是得到答案的过程。未知角之间的关系需要借助“多余角
7、”发现.7TTTT[
8、例3：(2011浙江理科，6)若0VqV_,--V0VO,cos(—+&)=—,2243,贝
9、JCOS(6Z+—)=(2(A)4⑻半(C)洋分析：在实际教学中，我发现很多学生面对这个题目首先想到的是，把cos(Q+0)用2的正弦.余弦的和角公式展开，即cos(cr+—)=coscr•cos—-sincr•sin—.fi然角q、—2222余弦值都可以求出，但计算量很大•仔细观察角，会发现它们之间存在关系：6z+^=(-+tz)-(--^),这个差的关系，是借助兰这个“多余角”的符号发现的.2
10、4424解：・・・q+£=(q+#)_(#_£),2442・•・COS(6Z+4)=COSl(6Z+乡)一(彳一4)J2442=cos(a+”)cos(”-")+sin(tz+—)sin(—+—)44244271T0
