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1、2.3.1双曲线及其标准方程1.椭圆的定义和等于常数2a(2a>
2、F1F2
3、>0)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离的2.引入问题:差等于常数的点的轨迹是什么呢?平面内与两定点F1、F2的距离的①如图(A),
4、MF1
5、-
6、MF2
7、=
8、F2F
9、=2a②如图(B),上面两条合起来叫做双曲线由①②可得:
10、
11、MF1
12、-
13、MF2
14、
15、=2a(差的绝对值)
16、MF2
17、-
18、MF1
19、=
20、F1F
21、=2a注:当
22、MF1
23、-
24、MF2
25、=2a时,点M的轨迹为近F2的一支.当
26、MF2
27、-
28、MF1
29、=2a时,点M的轨迹
30、为近F1的一支.画双曲线平面上到两个定点的距离的差的绝对值等于常数2a(小于
31、F1F2
32、)的点的轨迹叫双曲线.定点F1、F2叫做双曲线的焦点.两焦点之间的距离叫做焦距(2c).F2F1M以线段F1F2中点为坐标原点,F1F2所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则F1(-c,0),F2(c,0).设M(x,y)第二步设点第一步建立直角坐标系yxO(-c,0)(x,y)(c,0)F2F1M由定义可得
33、
34、MF1
35、-
36、MF2
37、
38、=2a第三步列式第四步代坐标第五步化简设得即:双曲线的标准方程(a2222c
39、cx())yxy2=+--++(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)c2-a2=b2表示一个焦点在x轴上的双曲线.其焦点坐标为(c,0),(-c,0),双曲线上每一点到两焦点距离之差的绝对值为2a.其中: .O(-c,0)(c,0)F2F1Myx(x,y)如果焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为:其焦点坐标为(0,-c),(0,c)表示焦点在x轴上的双曲线表示焦点在y轴上的双曲线问题:对于一个具体的双曲线方程,怎么判断它的焦点在哪条轴上呢?xyF1(0,-c)M(x,y)F2(0
40、,c)O其中: .看前的系数,哪一个为正,则焦点在哪一个轴上定义图象方程焦点a.b.c的关系
41、
42、MF1
43、-
44、MF2
45、
46、=2a(0<2a<
47、F1F2
48、)F(±c,0) F(0,±c)双曲线定义及标准方程双曲线上一点P到焦点F1的距离等于6,则点P到另一焦点F2的距离是______.a=8判断下列双曲线的焦点位置,并求出焦点坐标和焦距.(2)a=4,b=3,c=5,焦点在y轴,焦点(0,-5)、(0,5),焦距为10.(1)a=6,b=8,c=10,焦点在x轴,焦点(-10,0)、(10,0
49、),焦距为20;22
50、PF1
51、-
52、PF2
53、=2a=16=6-___22已知双曲线的两个焦点坐标分别是(-5,0),(5,0),点P到F1,F2距离差的绝对值等于6,求它的标准方程.解:由于双曲线的焦点在x轴,于是设标准方程为双曲线方程为:由得只要求出a、b则可求出双曲线的方程所以归纳:焦点定位,a、b、c三者之二定形例1求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=4,b=3,焦点在x轴上;(2)焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5).如图,设点A,B的坐标分别为(-5,0),(
54、5,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 ,求点M的轨迹方程.xyOABM解:设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标为(-5,0),所以,直线AM的斜率同理,直线BM的斜率由已知有化简,得点M的轨迹方程为例2求证:双曲线 与椭圆 的焦点相同.证明:双曲线化为标准方程因为所以焦点在x轴,故焦点坐标为(-4,0),(4,0)因为椭圆中所以焦点在x轴,故焦点坐标为(-4,0),(4,0)所以双曲线与椭圆的焦点相同.例3一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s
55、(1)爆炸点应在什么曲线上?(2)已知A、B两地相距800m,并且此时声速为340m/s,求曲线的方程解:(1)由声速及A、B两地听到爆炸声的时间差,可知A、B两地与爆炸点的距离的差,因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上。解(2)如图所示,建立直角坐角系,使A、B两点在x轴上,并且点O与线段AB的中点重合设爆炸点P的坐标为(x,y),则即2a=680,a=340xyoPBA例3巩固:如果方程表示双曲线,求m的取值范围.分析:方程表示双曲线时,则m的取值范围_________________.
56、变式:双曲线的定义双曲线的标准方程