函数的奇偶与周期性

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1、第3讲函数的奇偶与周期性1．了解奇函数、偶函数的定义，会判断一些简单函数的奇偶性，并能够用函数的奇偶性解决一些函数问题．2．了解周期函数的定义，并能够用函数的周期性解决一些函数问题.基础自查1．奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格

2、进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于原点对称．(2)考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．－f(x)f(x)3．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内，①两个

3、奇函数的和是，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是；③一个奇函数，一个偶函数的积是．4．函数的周期性对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每个值时，都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数．对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期．相反偶函数奇函数f(x＋T)＝f(x)奇函数想一想：1.奇偶函数的定义域有何特点？2．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？答案：1.奇偶函数的定义域关于原点对称．2．存在．该函数的特点是定义域关于坐标原点对

4、称，且解析式化简后等于0.联动思考联动体验1．对任意实数x，下列函数为偶函数的是()A．y＝2x－3B．y＝sinxC．y＝ln5xD．y＝xcosx解析：A为非奇非偶函数，B、C为奇函数，D为偶函数，设y＝f(x)＝ln5x＝xln5∴f(－x)＝－xln5＝－f(x)设y＝g(x)＝xcosx，∴g(－x)＝－xcos(－x)＝xcosx＝f(x)．答案：D2．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是()A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数解析：∵f(x)＝

5、x3，∴f(－x)＝－x3＝－f(x)，∴f(x)在R上是单调递减的奇函数．答案：B3．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：由f(x＋4)＝f(x)知函数y＝f(x)的周期为4，∴f(8)＝f(4×2)＝f(0)，又f(x)在R上为奇函数，∴f(0)＝0.答案：B4．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a，∴当a＝1时，函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数．答案

6、：C5．(2010·江苏卷)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．解析：∵f(－x)＝f(x)，∴(－x)(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，即(a＋1)ex＋(a＋1)e－x＝0，亦即(a＋1)(ex＋e－x)＝0，∴a＋1＝0∴a＝－1.答案：－1考向一函数奇偶性的判断反思感悟：善于总结，养成习惯判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：一是定义域关于原点对称，二是判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．迁移发散考向二函数奇偶性的应用考向三函数的周期性考向四抽象函数的奇偶

7、性和单调性问题【例4】定义在R上的函数f(x)满足：①对任意实数x，y∈R有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；②当x＞0时，f(x)＜0且f(1)＝－2.(1)求证f(0)＝0；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)判断函数f(x)的单调性；(4)解不等式f(x2－2x)－f(x)≥－8.解：(1)证明：依题意，令x＝0、y＝0得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)．即2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.(2)∵f(x)的定义域是R.∴令y＝－x代入f(x＋y)＝f(x)＋f(y)得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f

8、(－x)＝0.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，即f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)∵当x＞0时，f(x)＜0，而x2