元随机变量及分布

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1、第二章随机变量及数字特征一元随机变量及分布随机变量数字特征常用分布一元随机变量及分布一、随机变量及分布二、离散型随机变量及分布三、分布函数四、离散型随机变量的分布函数五、连续型随机变量及概率密度六、一元随机变量函数的分布1一、随机变量及分布21、随机变量：对于随机试验的每一个可能结果w(样本点)∈Ω,都有唯一的实数X(w)与之对应，则称X(w)是一个随机变量，简记为R.V.X注意：(1)随机变量X(w)实质是函数，X(w)取值是值域．(2)实验结果是随机的，X(w)取值也是随机．(3)实验的各个结果的出现有一定概率，X(w)取值有一定概率．离散型连续型取值为有限个和至多可列个

2、的随机变量.可以取区间内一切值的随机变量.２、分类二、离散型随机变量及分布１、离散型随机变量定义：设X是一个随机变量，如果X的所有可能取的值为有限个或可数个，则称X为离散型随机变量，记为D.R.VX．2、离散型随机变量的概率分布：设X是离散型随机变量，可能取的值为，则称为X的概率分布或分布列．3、分布列的性质（1）（2）4、求分布列的步骤：（1）明确X的含义及一切可能取值。（2）利用概率的计算方法，计算X取各值的概率。3例1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，试用一个随机变量描述该项一次试验的结果,求分布列。2/31/3P10X解:设X为一次试验的成功次数4由已知条件求随机变

3、量分布列的例题例２、袋中有５只同样大小的球，编号为１、２、３、４、５从中同时取出３只球，以X表示取出的球的最大号码，求X的概率分布．6/103/101/10P543X解:设X取出的球的最大号码例3设一试验成功的概率为p(0

4、为０.８，如果命中就停止射击，不命中就一直射到子弹用尽。（1）射击次数X的分布列Y=5-X（２）求子弹剩余数Y的分布列6解:(1)例5．一袋中有5个新球，3个旧球。每次从中任取一个，有下述两种方式进行抽样，X表示直到取得新球为止所进行的抽样次数：（1）不放回地抽取；（2）有放回地抽取。求X的分布列。几何分布7例6．一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口。每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿独立，且红绿两种信号显示时间相等。以X表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求X的概率分布。8例7．设一个试验只有两个结果：成功或失败，且每次试验成功的概率为P．现反复试验

5、，直到获得K次成功为止．以X表示获得K次成功时的实验次数，求X的概率分布．91．0-1分布２．均匀分布３．几何分布常用离散型分布三、分布函数1、定义：设X是一个随机变量，x为任意实数，函数称为X的分布函数2、性质：（1）（2）是非减函数（3）（4）右连续，即10下列四个函数中，不能作为随机变量分布函数的是＿解:故选11例.X的概率分布是：求其分布函数解：当分布函数为12四、离散型随机变量的分布函数1、分布列与分布函数的关系：3、分布函数、分布列与事件概率的关系13例１．X的概率分布是：则其分布函数解：当分布函数为------14例2.若X的概率分布如下，分别求其分布函数X01

6、P1/32/3X345P1/103/106/10151、定义：设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在非负函数f(x)，使得对任意实数X有：则称X是连续型随机变量，记为:C.R.VX称f(x)是X的概率密度函数，简称概率密度．五、连续型随机变量及概率密度2、概率密度的性质：连续型随机变量的分布函数处处连续．163、密度函数和分布函数与事件概率的关系4、密度函数和分布函数的关系17例１下列函数可以作为某一连续型随机变量的概率密度的是___解:(A)（B），（C）中的函数不是非负函数判断函数是否为某连续随机变量的密度函数18例２若f(x),g(x)均在同一区间[a,b]上是概率

7、密度函数．试证(1)f(x)+g(x)不是这区间上的概率密度函数．(2)对任一数β（0﹤β﹤１）,βf(x)＋(１﹣β)g(x)是这个区间上的概率密度函数．故f(x)+g(x)不是这区间上的概率密度函数故βf(x)＋(１﹣β)g(x)是这个区间上的概率密度函数．19例１．若C.R.VX的概率密度是，求待定参数B及P{0