直接证明 综合法

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1、直接证明综合法　　数学方法之综合与分析法篇　　一、使用综合法　　综合法是从已知出发经过逐步推理最后导出所要达到的结论.可以看出若使用综合法求解问题一定要将条件与结论结合起来看看条件、再看看结论如何架好从条件通往结论的桥梁?　　例1：设求证：证明：由于ab为非负实数时得.　　那么上述第一个不等式中等号成立的条件为2x3=153x解得故原不等式成立.　　点评：本题的证明不重要产生这个证明方法的思维过程很重要;你知道产生的?是综合法的“功劳”请看：欲从左边证到右边必须消去x;如何消?只有经过平方才能将x从根号中“解救”出来“解救”出来后才有消去的可能;于是在基本不等式中

2、开始“搜索”与平方有关的不等式慢慢的就“浮出水面”解法自然也就诞生了.　　二、使用分析法　　分析法是从结论出发逐步寻找使结论成立的充分条件直到找到一个明显成立的条件这个条件可以是已知条件、公理、定理、定义等可以看出若使用分析求解问题对结论的简化与转化很重要它是向条件靠拢的重要措施.　　例2：设abc为任意三角形的三边边长I=a+b+cS=ab+bc+ca求证：3S≤I2<4S.　　证明：由于I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2S,　　故欲证3S≤I2<4S只需3S≤a2+b2+c2+2S<4S只需证S≤a2+b2+

3、c2<2S　　即ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca　　只需证a2+b2+c2≥ab+bc+ca且a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca　　先看a2+b2+c2≥ab+bc+ca只需证2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca　　即显然此式成立.　　再看a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca只需证　　只需证;　　只需证为三角形的三边长.显然结论成立　　故3S≤I2<4S.　　点评：本题从表面上看不易“征服”但通过分析法将结论逐步转化由看上去很难“接受”的3S≤I2<4S转化为较为熟悉的ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2ab+2bc

4、+2ca显然这比原题的结论看上去要“舒服”多了当然求解也就顺畅了很多.　　三、综合与分析法同时使用　　例3：试证：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边并且方向相同那么这两个角相等.　　已知：如右图∠BAC∥∠B′A′C′中　　AB∥A′B′且AC∥A′C′且两角的方向相同　　求证：∠BAC=∠B′A′C′.　　分析：(1)∠BAC与B′A′C′不可能用　　平行线的性质只有考虑构造两个全等的三角　　形再设法证明两三角形全等为此分别在　　ACABA′C′A′B′上截取AE=A′E′　　AD=A′D′连结DED′E′得到△ADE　　△A′D′E′;　　(2)欲证这两

5、三角形全等只需证DE=D′E′;　　(3)只需证DEE′D′是平行四边形也就是DD′　　平行且等于EE′;　　(4)只需证“DD′平行且等于AA′且EE′平行且　　等于AA′”;　　(5)只需证ADD′A′与AEE′A′均为平行四边形显然这是一个成立的结论.　　证明：由于ADD′A′是平行四边形则DD′平行且等于AA′;同理得　　EE′平行且等于AA′.　　于是DD′平行且等于EE′那么DEE′D′是平行四边形得DE=D′E′.　　在△ADE与△A′D′E′中由于AE=A′E′AD=A′D′且DE=D′E′因此△ADE全等于△A′D′E′从而∠BAC=∠B′A′C

6、′.　　点评：分析法找思路较为自然容易产生解题思路与方法但由于是“逆行”往往叙述较为复杂;而综合法产生的解法往往又显得很突然一时不知此法由何而来.于是二者结合互相弥补便成了大家提倡的即“用分析法找思路用综合法写过程”是十分行之有效的方法.