中考数学真题分类汇编第一期专题39开放性问题试题含解析

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1、开放性问题一、选择题1．1．（xx·浙江舟山·3分）某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（   ）A.甲B.甲与丁C.丙D.丙与丁【考点】推理与论证【分析】需要推理出甲、乙、丙、丁四人的分数：每个人都要比赛3场，要是3场全胜得最高9分，根据已知“甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名”和“各队的总得分恰好是四个连续奇数”

2、，可推理出四人的分数各是多少，再根据胜、平、负一场的分数去讨论打平的场数。【解答】解：小组赛一共需要比赛场，由分析可知甲是最高分，且可能是9或7分，当甲是9分时，乙、丙、丁分别是7分、5分、3分，因为比赛一场最高得分3分，所以4个队的总分最多是6×3=18分，而9+7+5+3>18，故不符合；当甲是7分时，乙、丙、丁分别是5分、3分、1分，7+5+3+1<18，符合题意，因为每人要参加3场比赛，所以甲是2胜一平，乙是1胜2平，丁是1平2负，则甲胜丁1次，胜丙1次，与乙打平1次，因为丙是3分，所以丙只能是1胜2

3、负，乙另外一次打平是与丁，则与乙打平的是甲、丁故答案是B。【点评】要注重分类讨论.二.解答题(要求同上一)1．（xx·湖南省衡阳·10分）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角

4、形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）①如图1，∵y=﹣2x2+2x+4=﹣2（x﹣）2+，∴顶点为M的坐标为（，），当x=时，y=﹣2×+4=3，则点N坐标为（，3）；②不存在．理由如下：MN=﹣3=，设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，∵PD∥MN，当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m=，解得m1=（舍去），m2=，此时P点坐标为（，1）

5、，∵PN==，∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不为菱形，∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在．如图2，OB=4，OA=2，则AB==2，当x=1时，y=﹣2x+4=2，则P（1，2），∴PB==，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4，把A（2，0）代入得4a+2b+4=0，解得b=﹣2a﹣2，∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2（a+1）x+4，当x=1时，y=ax2﹣2（a+1）x+4=a﹣2a﹣2+4=2﹣a，则D（1，2﹣a），∴PD=2﹣a﹣2=﹣a，∵DC∥OB，∴∠DPB=∠OBA，∴

6、当=时，△PDB∽△BOA，即=，解得a=﹣2，此时抛物线解析式为y=﹣2x2+2x+4；当=时，△PDB∽△BAO，即=，解得a=﹣，此时抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4或y=﹣x2+3x+4．　2.（xx•株洲市）下图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线与直线都垂直，，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝千米，上的点N位于点M的北偏东方向上，且，MN=千米，点A和点N是城际线L上的两个

7、相邻的站点.（1）求之间的距离（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）【答案】（1）2；（2）小时.【解析】分析：（1）直接利用锐角三角函数关系得出DM的长即可得出答案；（2）利用tan30°=，得出AB的长，进而利用勾股定理得出DN的长，进而得出AN的长，即可得出答案．详解：（1）过点M作MD⊥NC于点D，∵cosα=，MN=2千米，∴cosα=，解得：DM=2（km），答：l2和l3之间的距离为2km；（2）∵点M位于点A的北偏东3

8、0°方向上，且BM=千米，∴tan30°=，解得：AB=3（km），可得：AC=3+2=5（km），∵MN=2km，DM=2km，∴DN==4（km），则NC=DN+BM=5（km），∴AN==10（km），∵城际火车平均时速为150千米/小时，∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要小时．点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AN的长是解题关键．3.（xx·四川自贡·14分）如图，抛物