2019-2020年高考数学大一轮复习（选修4-4）

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习（选修4-4）[考情展望]　1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化特点.2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐

2、标伸缩变换．2．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图33所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．图333．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式ρ2＝x2＋y2tanθ＝

3、(x≠0)4．圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcosθ圆心为，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)5.直线的极坐标方程(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcosθ＝a.(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsinθ＝b.考向一　平面直角坐标系中的伸缩变换　(xx·辽宁高考改编)将圆x2＋y2＝

4、1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)求曲线C的标准方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【解】　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得由x＋y＝1得x2＋2＝1，故曲线C的方程为x2＋＝1.(2)由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－

5、1＝，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝.规律方法1　1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，利用方程思想求解．2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入转化．对点训练　在平面直角坐标系中，经过伸缩变换曲线C变为曲线X′2＋Y′2＝1，求曲线C的方程．【解】　设曲线C上任意一点(x，y)，经过变换后

6、对应的点为(X′，Y′)，由得代入曲线X′2＋Y′2＝1.得曲线C的方程为＋＝1.考向二　极坐标与直角坐标系的互化　在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的直角坐标方程．图34【解】　在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.则ρ2＝2ρcosθ，∴x2＋y2＝2x，故圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.规律方法2　1.进行极坐标方程与直角

7、坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，注意ρ，θ的取值范围及其影响；善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；灵活运用代入法和平方法等技巧．对点训练　(1)(xx·湖北高考改编)已知曲线C1的方程为y＝x(x≥0)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，求C1与C2交点的直角坐标．(2)(xx·郑州调研)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点

8、P的极坐标为，求C、P两点间的距离．【解】　(1)将曲线C2：ρ＝2化为直角坐标方程x2＋y2＝4.联立解得故曲线C1与C2交点的直角坐标为(，1)．(2)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，∴圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4.所以圆心C的直角坐标为(2,0)．又点P的直角坐标为(2,2)，因此

9、CP

10、＝＝2.考向三　极坐标方程的应用　在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin