东华大学运筹学-杨东-教学3

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1、运筹学杨东博士、教授Email:yangdong@dhu.edu.cn管理学院信息管理与信息系统系Office:旭日楼724LP的图解法一、图解法的步骤1、在平面上建立直角坐标系；2、画出约束条件（直线），找出可行域；3、画出目标函数，即为一直线；4、将目标函数直线沿其法线方向其最优化方向平移，直至与可行域第一次相切为止，这个切点就是最优点。例1：图解法求下面LP问题:1)画出直线C1。2）画出直线C2,C3,C3。3）判断可行解区域（阴影部分）4）令目标函数等于0，即2x1+x2=0。作出直线Z0。5）向Z值变大的方向平移Z0，即Z1,Z2,….。6）直到与阴影部分不再有交点为

2、止。这时，可得到Z3与阴影部分的交点Q2。Q2就是最优值。其坐标为最优解。C1C2C3Z0Z1Z2Z3Q2C1C2C3Z0Z1Z2Z3Q2C1C2C3Z0Z1Z2Z3Q2Q2是直线C2和C3的交点，即：求解上述方程。因而有：x1=3.5,x2=1.5。代入目标函数Z=2x1+x2=8.5.这就是最优解。此时，只有唯一的最优解。例2：图解法求下面LP问题（注意：与例1比，只是目标函数有改动）:C1C2C3Z0Z1Z2Z3解：从作图法看出，目标函数的斜率为-3。它与直线C2平行（C2的斜率也为-3）。此时，平移目标函数直线Z0....得到Z1,Z2….直到与阴影部分（可行区域）不再相

3、交为止。此时，相交的是一条直线，即Z3与C2平行。由于直线上有多个点，所以，最优解有多个可行解。例3：图解法求下面LP问题（注意：与例1比，只保留约束C1）:C1Z0z1z2z3解：由于可行区域为无界区域（阴影部分可以不断延伸）目标函数直线Z0可以不断平移，z1,z2….,Z3….因而目标函数不断增大，直至无穷大。即无界解。例4：图解法求下面LP问题（注意：与例1比，只是目标函数相同。约束都改变）:Z0Z1解：按作图法，C1和C2没有相交的阴影部分。所以，本题无解。C1C2小结：LP解可能存在如下情况：唯一最优解（Z直线与可行区域相交有最优点）；多个最优解（z直线与可行区域相交有

4、最优的直线）；无界解（即无穷大或无穷小）（z直线可以无穷大或小）；无解（无可行区域）。小结：最优解一定是可行区域（阴影部分）的顶点。可行区域是凸多边形（阴影部分无空洞）。可以找出每个顶点，然后计算每个顶点的值，最后找到最优的顶点，即最优解(笨办法）。任找一个顶点，然后看其相邻顶点是否比它更优。如果是，继续比较。直到最优。（单纯法的思想）作业：1.1题（即教材第44页）。然后请用excel进行验证结果是否正确。