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1、基于动态探究，揭示一般规律438600湖北省罗田县第一中学陈清华1•引言2012年的高考给我们带來了一笔丰富的教育教学资源。借助超级画板，细细品读那些别出新裁、独具匠心的解析几何试题，发现一些试题的结论不仅可以推广得出一般化结论,而且还可以进行类比、迁移，例如在椭圆小成立的结论，在双]11
2、线和抛物线屮同样成立。在动态探究的过程中，由特殊向一•般层层推进,步步为营,直至得出统一•的性质和规律,这与新课程注重引导学生对知识的口主探究和动态生成的理念不谋而合，以2012年福建卷的一道解析几何题为例加以探究
3、和说明。2•引例22【2012年福建】如图，椭圆亠+爲=l（d">0）的左焦点为百，右焦点为几，离心率为crtr0二丄，过片的总线交椭圆于A,B两点,且AABF,的周长为8.2-（I）求椭圆E的方程：（II）设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与总线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为玄径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【动态解析】（1）由椭圆的定义知:AABF,的周长为4^=8,故d=2.又由离心率幺=丄知,-222c=1,
4、b~—ci~—c~—3i故椭圆的方程为F——=1.43（2）由题意知，过切点P的椭関E的切线交直线x=4于点Q,而椭鬪的右准线恰好是直2线兀=・=4,即过椭圆E上任意一点P的切线交椭圆E的右准线于点Q（如图1所示）.c需要我们探究的结论：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的闘恒过点M?【动态探究1]:可以用超级画板做出以PQ为直径的圆，拖动点P在椭圆上运动，观察动闘上是否存在不动的定点M（探究结果如图2所示）.y~vI图1•IM/结果发现：存在使得以PQ为直径的閲恒过x轴上的定点M!通过动态
5、解析我们找到了这个定点的位置，接卜•来，我们需要通过解析法求出这个定点M的坐标,解析如下:y=kx+mX2一+〔43y2消去y得:（4/+3）兀2+8亦兀+4加2一12=0—1因为动直线I与椭圆E有且仅有一•个公共点P（xp,yp）,所以64k2m2一4(4/+3)(4血2-12)=0,化简得4疋一加？+3=0二＞m2=4疋+3(z)皿…8Zr4k3rtrP达定理知：2xp——=即兀戶=,yp=kxp+加=—,4Zr+3mm'm8kmAb3所以P(-—又由mmx=4知,Q(4,4R+加)y=kx+m设
6、定点M的坐标为（心,0）,则丄MQ^MP丄MQ，即MP・MQ=0对于满足（/）式的加丛恒成立.又MP=4k3亦mm—,亦=（4一兀0,4比+加），曲丽•应=0可得:4"y1”k—+—^-4兀0+球+—+3=0,整理得：4(兀0-1)一+球一4兀0+3=0(”)mminm因为（力）对于满足Q）式的加北恒成立,所以x()—1=0总-仏+3=0‘解得廿1故存在定点M（l，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M.通过上述的解析发现果真如我们动态探究的结果一样，存在门唯一的定点M（1,O）,使得以PQ为直径的圆恒过
7、点M.借助动态化数学软件进行探究，为我们的解析儿何解题教学提供了一个直观化的工具，也为我们的发散式的变式教学提供了一个很好的平台。因为椭闘只是圆锥Oil线屮的一种，那么这样的结论在双曲线屮是否依然成立呢？我们可以借助《超级画板》继续进行动态变式探究。【变式探究I】:将椭圆氏于牛1的方程中的屮变成"“摇身一变”就得到了双曲线£_-亍1的图象（如图3和图4所示）。图3图4下面来动态探究在双1111线E'上，是否存在定点使得以PQ为直径的圆恒过点M?【动态探究2]uf以用超级画板做出以P0为直径的圆，拖动点
8、P在双曲线上运动，观察动圆上是否存在不动的定点M（探究结果如图5所示）.图5结呆发现：存在使得以PQ为总径的圆恒过兀轴上的定点M!22类似地，通过解析法可以求出定点mg/7,o),此时双曲线的方程为乞-丄=1。综介我们所得出的结论：(i)当椭圆的方程为—+=1时，定点的处标为(1,0)；(ii)当双曲线的方程为—1时,定点的坐标为(77,0)；43观察上述结论我们发现：所求的定点刚好是椭圆(或双曲线)的右焦点！然而这个结论只是我们的一个猜想，需要严格地加以验证。以椭圆为例(双曲线过程类似)证明过程如下
9、:设过椭圆C:兰T+各二l(d＞方＞0)上任意一点P(Xp)的切线cr2l:y=kx+m交椭圆的右准线x=—于点Q,以PQ为宜径的圆怛过点M(xo,O).Cy=kjc^-mb2x2^a2y2=a2b2消去y可得:^a2k2+b2)x2+2a2kmx+(/n2-/?2)=0,加H0因为动直线/与椭圆C有且仅有一个公共点所以彳c，即A=0A=4a4k2m2+4(6/2//?2-a2b2)(a2k2+b2)=0f化简得:m2=a2k2+h2(*)山韦达定理知：
