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《2019高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理第1课时归纳推理课后训练案巩固提升含解析新人教A版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1课时 归纳推理课后训练案巩固提升1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,……可以得出的一般性结论是( )A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2解析:观察各等式的构成规律可以发现,各等式的左边是2n-1(n∈N*)项的和,其首项为n,右边是项数的平方,故第n个
2、等式首项为n,共有2n-1项,右边是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案:B2.已知不等式1+,1+,1+,……均成立,照此规律,第五个不等式应为1+<( )A.B.C.D.解析:观察不等式的左边发现,第n个不等式的左边=1++…+,右边=,所以第五个不等式为1+.答案:C3.设n是自然数,则(n2-1)[1-(-1)n]的值( )A.一定是零B.不一定是偶数C.一定是偶数D.是整数但不一定是偶数解析:当n为偶数时,(n2-1)[1-(-1)n]=0为偶数;当n为奇数时(n
3、=2k+1,k∈N),(n2-1)[1-(-1)n]=(4k2+4k)·2=k(k+1)为偶数.所以(n2-1)[1-(-1)n]的值一定为偶数.答案:C4.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),则可归纳猜想{an}的通项公式为( )A.an=B.an=C.an=D.an=解析:由已知得a1=1,a2=,a3=,a4=,……由此可猜想an=.答案:B5.设f(x)=,记f1(x)=f(x),若fn+1(x)=f(fn(x)),则f2016(2016)等于( )A.2016B.-C.-D.解析:由已知可得f
4、1(x)=,f2(x)=-,f3(x)=,f4(x)=x,f5(x)=,f6(x)=-,f7(x)=,f8(x)=x,……可得fn(x)是以4为周期的函数,因此f2016(x)=f504×4(x)=f4(x)=x,故f2016(2016)=2016.答案:A6.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5只蜜蜂;第二天,6只蜜蜂飞出去各自又带回了5只蜜蜂,……如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂( )A.只B.66只C.63只D.62只解析:根据题意,可知第一天共有蜜蜂1+5=6(只),第二天共
5、有蜜蜂6+6×5=62(只),第三天共有蜜蜂62+62×5=63(只),……故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+65×5=66(只),故选B.答案:B7.给出若干个数:,……由此可猜测第n个数为 . 解析:给出的每个数都是根式,被开方数都是两个数相加,第一个数恰好比序号多1,第二个数是分式,分子也是比序号多1,分母则是分子的平方减去1,由此可得第n个数为.答案:8.下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律,第(n)个图案中需用灰色瓷砖 块(用含n的代数式表示). 解析:第(1)
6、,(2),(3),…个图案中灰色瓷砖数依次为15-3=12,24-8=16,35-15=20,……由此可猜测第(n)个图案中灰色瓷砖数为(n+2)·(n+4)-n(n+2)=4(n+2)=4n+8.答案:4n+89.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18)°+cos248°-sin(-18)°cos48°
7、;⑤sin2(-25)°+cos255°-sin(-25)°cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)选择②式计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证法一:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-si
8、nα(cos30°·cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.故上式成立.证法二:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=-sinα=1+sin2α-(1-cos
