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1、专业文档，值得收藏!未来艺术学校八年级数学培优班假期讲义姓名:学校:班级:少业文档，值得下载!第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应幷。2.全等三角形的表示方法：若AABC和AA'BzC'是全等的三角形，记作“△ABC9/A‘C'其中，“竺”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4.寻找对应元素的方法(1)根据对应顶点找如呆两个三角形全等，那
2、么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，曲全等三角形的记法便可写出对应的元素。(2)根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(3)通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其屮一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。①翻折如图(1),ABOC^AEOD,ABOC可以看成是由AEOD沿直线AO翻折180。得到的；②旋转如图(2),ACOD^ABOA,ACOD可以看成是由ABOA绕着点O旋转
3、180。得到的;③平移如图(3),ADEF^AACB,ADEF可以看成是由AACB沿CB方向平行移动而得到的。AD3.判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6・注意问题：（1）在判定两个三幷形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a:三个角对应相等，即AAA；b:有两边和其中一角对应相等，即SSAo全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形
4、知识的应用（1）证明线段（或角）相等【例1】如图，已知AD二AE,AB二AC.求证：BF=FC分析：曲已知条件可证出△ACD^AABE,而BF和FC分另U位于△DBF和△EFC中，因此先证明△ACD竺△ABE,WijETOADBF^AECF,既可以得到BF=FC.证明：在AACD和AABE中，rAE=AD彳ZA=ZAIAB=AC.・・・AACD^AABE(SAS)・・・ZB=ZC(全等三角形对应角相等)又・.・AD=AE,AB=AC.・•・AB-AD=AC-AE即BD=CE在ADBF和AECF中rZB=ZC彳ZBFD=ZCFE(对顶角相等)(BD二CE・•・ADBF^AECF(AAS)
5、・・・BF=FC（全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行【例2】已知：如图，DE丄AC,BF丄AC,垂足分別为E、F,DE=BF,AF=CE.求证:AB〃CD分析：要证AB/7CD,需证ZC=ZA,而要证ZC=ZA,乂需证AABF竺ACDE.由已知BF丄AC,DE±AC,知ZDEC=ZBFA=90°,且己知DE=BF,AF=CE.显然证明△ABFACDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证ZC=ZA,进一步证明AB〃CD.证明：JDE丄AC,BF±AC（己知）・・・ZDEC=ZBFA=90°（垂直的定义）在AABF与ACDE中，rAF=CE（已知）彳ZDEC=ZBFA（已证）ID
6、E=BF（已矢口）・・・AABF^ACDE（SAS）・・・ZC=ZA（全等三角形对应角相等）・・・AB〃CD（内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等【例3】如图，在厶ABC中，AB=AC,延长AB到D,使BD二AB,取AB的中点E,连接CD和CE.求证：CD=2CE分析：（i）折半法：収CD中点F,连接BF,再证△CEB^ACFB.这里注意利用BF是△ACD中位线这个条件。证明：取CD屮点F,连接BF・・・BF=
7、AC,且BF〃AC（三角形中位线定理）・・・ZACB=Z2（两直线平行内错角相等）乂•・・AB=AC・・・ZACB
8、=Z3（等边对等角）・・・Z3=Z2在ACEB与ACFB屮，「BF=BEJZ3=Z2lcB=CB•:ACEB9ACFB（SAS）・•・CE=CF=
9、CD（全等三角形对应边相等）即CD=2CE（ii）加倍法证明：延长CE到F,使EF二CE,连BF.F在AAEC与厶BEF中，「AE二BEiZ1=Z2（对顶角相等）Ice二fe・・・AAEC^ABEF（SAS）・・・AC=BF,Z4=Z3（全等三角形对应边、对应角相等）・・・BF/7AC（内错角相等两
