人教版-初二上数学培优精编讲义教师版

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1、未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义未来艺术学校八年级数学培优班假期讲义姓名:___________学校:_____________班级:_____________55未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2.全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点

2、的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4.寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的

3、。翻折如图（1），DBOC≌DEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180°得到的；旋转如图（2），DCOD≌DBOA，DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180°得到的；平移如图（3），DDEF≌DACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移动而得到的。55未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义5.判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6.注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a:三个角对应相等，即AAA；b:有两

4、边和其中一角对应相等，即SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用（1）证明线段（或角）相等【例1】如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.证明：在ΔACD和ΔABE中，∴ΔACD≌ΔABE(SAS)∴∠B=∠

5、C（全等三角形对应角相等）又∵AD=AE,AB=AC.∴AB－AD=AC－AE即BD=CE在ΔDBF和ΔECF中∴ΔDBF≌ΔECF（AAS）55未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义∴BF=FC（全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行【例2】已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个

6、三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC（已知）∴∠DEC＝∠BFA=90°（垂直的定义）在ΔABF与ΔCDE中，∴ΔABF≌ΔCDE（SAS）∴∠C＝∠A(全等三角形对应角相等)∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE分析：(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。55

7、未来文化艺术学校八年级数学培优班假期讲义证明：取CD中点F，连接BF∴BF=AC,且BF∥AC（三角形中位线定理）∴∠ACB＝∠2(两直线平行内错角相等)又∵AB=AC∴∠ACB＝∠3（等边对等角）∴∠3＝∠2在ΔCEB与ΔCFB中，∴ΔCEB≌ΔCFB(SAS)∴CE=CF=CD（全等三角形对应边相等）即CD=2CE（ⅱ）加倍法证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.在ΔAEC与ΔBEF中，∴ΔAEC≌ΔBEF(SAS)∴AC=BF,∠4＝∠3(全等三角形对应边、对应角相等)∴BF∥AC(内错角相等两直线平行)∵∠ACB+∠CBF=180o,∠ABC+∠

8、CBD=180o,又AB=AC∴∠ACB=∠ABC∴