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《731梯子模型的再探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、7.3.1梯子模型的再探究梯子模型的再探究彭翕成pxc417@126武汉华中师范人学教育部教育信息技术工程研究中心430079文［1］利川《几何画板》对“梯了模型”进行了探究，得到了一些轨迹，并对轨迹方程进行了分析说明。笔者读后，觉得该文存在两个比较大的问题：（1）没冇给出利用信息技术探究梯子模型的过程，而此过程乂包含了比较巧妙的数学原理，是很多读者所希望知道的；（2）分析轨迹方程时,证明相当繁琐,甚至用到高等数学中的矩阵知识，让很多中学教师望而生畏。木文将对梯子模型进行再探究，并给岀简洁的证明。所谓梯子模型，又称等棍模型，是指有一个梯子斜靠在墙边，有一
2、个物体挂在梯子上。梯子滑动时，物体的运动路线如何？转化为数学模型就是：端点在坐标轴上运动的定长线段上某点的轨迹如何？由于此轨迹变化很多，不借助计算机是很难探究的。文［1］采用的是《几何irni板》，笔者考虑到操作的方便性，采用《超级画板》，两种個板所用到的数学原理是一致的。我们首先构造基木模型：以原点为圆心，0A为半径作圆，点A为任意点；在闘上任取点B,过点B分别向x轴，y轴作垂线段，垂足为C,D；连接CD,线段CD则为我们模型中的“梯子”，当点B在圆上运动时，CD保持长度不变。原因是四边形BD0C为矩形，CD=（）B=R,R是圆的半径，为一定值。这样我
3、们就巧妙地将C,D网个点的运动转化成点B—个点的运动，既便于操作，乂方便我们进一步探究。探究1：当点B在圆上运动时，CD中点的轨迹怎样？我们作出CD中点E,构造点E的轨迹，容易看出轨迹是圆（图1）。原因很简单,矩形BDOC两对角线相等,且互相平分,CD中点即为OB中点,易得11R222OEOBR（定值），故xy（）,表示一圆。222注：实际轨迹仅是所在圆的第一象限（下同）。探究2：当点B在圆上运动时，CD上其他点的轨迹怎样？我们在线段CD任収点E,构造点E的轨迹，容易看出轨迹是椭圆（图2）。证明：设DEa,CEb,ECOt,则xEacost,yEbsin
4、t,转化成直角坐RR2xE2yE222标方程为221,表示椭圆。当ab时，方程为xy0,椭圆为圆，22ab前面已证。当ab时，椭圆的焦点在x轴上。当ab时，椭圆的焦点在y轴上。从推导过程我们可以看出，a、b分别表示椭圆的长、短半轴，明门了其儿何意义，我们就了解了椭圆规的制作原理，只要改变点E的位豊，我们就可以作出不同扁平程度的椭圆。探究3：当点B在閲上运动时，点B在CD上的投影的运动轨迹?我们作BECD,构造点E的轨迹（图3）,容易看出轨迹是星形线。证明：设BOCt则BDC,txEDEcostBDcos2tRcos3t,,转化成直角坐yEBCDEsint
5、BCBDcostsintRsintRcos2tsintRsin3t,标方程为xEyER,此为星形线方程。如果再作出线段BE的轨迹,则可得到图4。文［2］对图4有非常详细的论述,本文就不再赘述了。232323图3图4探究4：探求点0在CD上的投影的运动轨迹是怎样的曲线？我们作OGCD,构造点G的轨迹（图5）,容易看出轨迹是四叶玫瑰线。证明：己知BECD,OGCD,点F为CD中点，显然点E和点G关于点F对称。设BOGt,上文lL证xERcos3t,yERsin3t,xF1IRcost,yFRsint,则22xG2xFxERcostRcos3tRsin2tco
6、st,yG2yFyERsintRsin3tRsintcos2t,转化成直ffi坐标方程为(xG2yG2)3(RxGyG)2,此为四叶玫瑰线方程。c图5图6探究5：当地面与墙壁不垂直，随着梯了的运动，梯了上的点的轨迹怎样?探究此问题,我们需要另外建构基本模型。作线段AB和CD,交点为E；以点E为圆心，EF为半径作圆，F为任意点；在圆上任取点G,过点G分别向AB,CD线段作垂线段，垂足为I,H；连接TH,线段TH则为我们模型中的“梯子”，当点G在圆上运动时，TH保持长度不变。原因是GICE,GHEH,则GIEH四点共圆；根拯止弦定理，对得IIIRsin(设E
7、FR,BEC),而当点G在圆上运动时，R和均为定值，所以IH也为定值。我们利用《超级画板》能够很快作岀点J的轨迹，容易看岀轨迹是椭圆(图6)o证明：我们作KEBE,以点E为原点，AB直线为x轴，KE直线为y轴建立坐标系。sint,设BECyjxjEIsin(90IHEt,IJa,JHbo根据儿何关系可得ElRIJcost,yjJHsinto化简可得xjRcosbyJ2xJyJxJ22Rcos1R2cos22cos),即2xjyj2(l)yJ210,即12(R22baabaabba11R2cos2Rcos211）00,显然为圆锥曲线的一般方程，又因为2*2
8、（表示2222abaababxJ2yJ2为椭圆。当BEC90时，方程为221,可
