2018年秋高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例学案 新人教A版选修2-2

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1、1.4　生活中的优化问题举例学习目标：1.体会导数在解决实际问题中的作用.2.能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？[提示](1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：大度、宽度应大于0，销售价为正数等．[基础自测]1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与

2、年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)A．7万件　　　B．9万件C．11万件D．13万件B　[设y＝f(x)，即f(x)＝－x3＋81x－234.故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．当0＜x＜9时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增；当x＞9时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减．因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需

3、对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)【导学号：31062069】A．8B．C．－1D．－8C　[由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]3．做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为(　　)A．6mB．8mC．4mD．2mC　[设底面边长为xm，高为hm，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为Sm2，则有S＝4x

4、·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．]4．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大.【导学号：31062070】[解析]　利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．[答案]　115[合作探究·攻重难]面积、体积的最值问题　请你设计一个包装盒，如图141，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影

5、部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．图141(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解]　设包装盒的高为hcm，底面边长为acm.由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，

6、所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.[规律方法]　(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题.(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.[跟

7、踪训练]1．周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.【导学号：31062071】[解析]　设矩形的长为xcm，则宽为(10－x)cm(0＜x＜10)．由题意可知圆柱体积为V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3.∴V′＝20πx－3πx2，令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝，且当x∈时，V′(x)＞0，当x∈时，V′(x)＜0，∴当x＝时，V(x)max＝πcm3.[答案]　π用料最省、成本(费用)最低问题　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑

8、物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x