2018年秋高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词学案 新人教A版选修2-1

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1、1.4　全称量词与存在量词1.4.1　全称量词1.4.2　存在量词1.4.3　含有一个量词的命题的否定学习目标：1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点，难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点，易混点)[自主预习·探新知]1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用

2、M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”．思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的

3、形式．[提示]　(1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax＋2x0＋1＝0”(2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．3．含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x0∈M，﹁p(x0)；特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题．(　　)(2)命题“有些菱形是

4、正方形”是全称命题．(　　)(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀xR，x2－3x＋3≤0.(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“﹁p”形式的命题是(　　)A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根[答案]　C3．下列四个命题中的真命题为(　　)【导学号：46342031】A．∃x0∈Z,1<4x0<3B．∃x0

5、∈Z,5x0＋1＝0C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋2>0D　[当x∈R时，x2＋x＋2＝＋>0，故选D.][合作探究·攻重难]全称命题和特称命题的概念及真假判断　指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x0∈R，使＝0；(3)能被5整除的整数末位数是0；(4)有一个角α，使sinα>1[解]　(1)是全称命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称命题．因为25能被5整除，

6、但末位数不是0，因此该命题是假命题．(4)是特称命题，因为∀α∈R，sinα∈[－1,1]，所以该命题是假命题．[规律方法]　1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法(1)分析命题中是否含有量词；(2)分析量词是全称量词还是存在量词；(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．2．全称命题与特称命题真假的判断方法(1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题

7、，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．[跟踪训练]1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使>2B　[A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．](2)下列命题中，真命题是(　　)【导学号：

8、46342032】A．∃x∈，sinx＋cosx≥2B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1C．∃x∈R，x2＋x＝－1D．∀x∈，tan