2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词学案 新人教a版选修2-1

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1、1.4　全称量词与存在量词1.4.1　全称量词1.4.2　存在量词1.4.3　含有一个量词的命题的否定1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.(重点)2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定.(重点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(难点)[基础·初探]教材整理1　全称量词与全称命题阅读教材P21“思考”以下部分，完成下列问题.1.短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做______，并用符号“________”表示.【答案】　全称量词　∀2.含有___

2、_____的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为________.【答案】　全称量词　∀x∈M，p(x)给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②正方形是菱形；③任意实数x，

3、x

4、＞0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数.下列说法正确的是(　　)A.四个命题都是真命题B.有三个真命题C.有两个真命题D.有一个真命题【答案】　C教材整理2　存在量词与特称命题阅读教材P22“思考”以

5、下部分～P23例2以上部分，完成下列问题.1.短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号“________”表示.【答案】　存在量词　∃2.含有____________的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“________________”.【答案】　存在量词　∃x0∈M，p(x0)判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x0，使x＋2x0＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数.【解】　(1)由

6、于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在.所以特称命题“有一个实数x0，使x＋2x0＋3＝0”是假命题.(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题.(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题.教材整理3　含有一个量词的命题的否定阅读教材P24“探究”以下部分～P25例4以上部分，完成下列问题.一般地，对于含有一个量词

7、的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：________；特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p：______________________________________________________________.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.【答案】　∃x0∈M，﹁p(x0)　∀x∈M，﹁p(x)命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“﹁p”形式的命题是(　　)A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根B.

8、不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根【答案】　C[小组合作型]全称命题和特称命题的概念及真假判断　指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假.(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x0∈R，使＝0；(3)对任意向量a，

9、a

10、＞0；(4)有一个角α，使sinα＞1.【导学号：37792025】【精彩点拨】　(1)上述各命题中分别含有什么量词？(2)如何判断它们的真假？【自主解答】　(1)是全

11、称命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.(2)是特称命题.因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题.(3)是全称命题.因为

12、0

13、＝0，∴

14、a

15、＞0不都成立，因此，该命题是假命题.(4)是特称命题，因为∀α∈R，sinα∈[－1,1]，所以该命题是假命题.1.判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词.当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断.2.全称命题与特称命题真假的判断方法(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限

16、定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题.[再练一题]1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B