第2讲、有限元与弹性力学的基本原理

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1、有限元分析的基本原理有限元与弹性力学的基本原理之所以介绍弹性力学的有限元法的主要是:它概念浅显，易于掌握，既可以从直观的物理模型来理解，也可以按严格的数学逻辑来研究;不仅能成功地分析具有复杂边界条件、非线性、非均质材料、动力学等难题，而且还可以推广到解答数学方程的其它边值问题，如热传导、电磁场、流体力学等问题。弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。弹性力学的基本假设理想弹性体物体是连续的物体是完全弹性的物体是均匀的物体是各向同性的位移和形变是

2、很小的弹性力学的分类平面问题的基本理论直角坐标解答极坐标解答温度应力空间问题的基本理论理论弹性力学薄板理论薄壳理论应用弹性力学弹性体力学的基本概念简介弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形变有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变的组成。弹性体的拉伸和压缩形变一、正压力（拉伸压缩应力）（1）例如图示，其中，沿作用力截面的法线方向。二、线应变（相对伸长或压缩）绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩）。公式：（2）（3）其中：设想直杆横截面是正方形每边长为,横向形变后为。横向形变和纵向形变之比为泊松系数：（4）当　　时，为拉伸形变；

3、　时，为压缩形变，因而，它很好地反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变(或形变)为：三、胡克定律当应变较小时，应力与应变成正比：（5）或（6）其中：Y或E称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。四、拉伸或压缩的形变势能——属于形变物体本身所有（7）V-弹性体体积.同时有：弹性势能密度，即单位体积中的弹性势能：（8）回顾知识:弹性变形能对于一维结构(拉压杆),在线弹性范围下,受力-变形关系所包含的面积,数值上等于外力所做的功在一小段dx上的变形能为：对于空间三维体一、剪切形变当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平行移动时的形变叫做剪切形变。

4、例如：用剪刀剪断物体前即发生这类形变。（1）其中：S为假想截面ABCD的面积，力F在该面上均匀分布。三、剪切形变特征：表现为平行截面间的相对滑移。如图示：切应角若很小，则（2）二、剪应力弹性体的剪切形变四、剪切形变的胡克定律若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比：其中，N为剪切模量，反映材料抵抗剪切应变的能力。（3）通过理论推导，对于各向同性的，均匀的弹性体，有：上式说明了：三个量之间只有两个是独立的。其中：Y是杨氏模量，反映材料抵抗拉伸与压缩的能力；N是剪切模量，反映材料抵抗剪切形变的能力；是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀的特性。几个不同特性的量是有联系的。梁的弯曲中性层：

5、一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层，如图中的　层。对于纯梁弯曲形变有：其中：R和分别为中性层的半径和曲率；h和b分别为梁的高度和宽度，τ为梁仅受的靠端部的力偶。杆的扭曲产生扭转的力偶　和实心圆柱扭转角　的关系：其中：R和分别为圆柱的半径和长度，N是剪切模量，式中c是圆柱的扭转系数：弹性力学可分为空间问题(3D)和平面问题(2D)任何弹性体总是处于空间受力状态，因而任何实际问题都是空间问题。但是在某些情况下，空间问题可以近似地按平面问题处理。弹性力学平面问题可分为两类：平面应力问题和平面变形问题。两类问题有许多共同特点，合称为弹性力学平面问题。（1）平面应力问题:如梁，由于梁的厚度

6、很小，而荷载又都与Oxy平面平行，且沿z轴为均匀分布，因此可以认为沿z轴方向的应力分量等于零。这种问题称为平面应力问题。（2）平面变形问题:如一圆形隧洞的横截面。由于隧洞的长度比直径大得多，而荷载又都与Oxy平面平行，且沿z轴为均匀分布，因此可以认为，沿z轴方向的位移分量等于零。这种问题称为平面变形问题。区别:平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。具体说来：平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个

7、平面内)，没有σz，τyz，τzx。平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应变εx，εy和剪应变xy，而没有εz，γyz，γzx。弹性力学的基本方程应力分量的正负号规定如下:如果某一个面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，与坐标轴反向为负;相反，如果某一个面的外法线方向与坐标轴的负方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正，与坐标轴同向为负。应力分量及其正方向见图1图1弹性