弹性力学与有限元法

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1、第1节概述[概述]有限元方法起源于弹性力学问题求解，最先发展的是平面三角形位移元。经过半个多世纪的发展，发展了一批具有不同精度的单元，也是有限元单元技术发展最成熟的领域，应用最成功的领域是土木工程结构静动力学分析中。在弹性力学问题位移元方法中，有限元法一般包括以下几个步骤：2021-9-141InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation[概述]第1节概述l将连续体离散化，即将连续求解域离散为一组由虚拟的点、线、面构成的有限个“单元”的组合体，这样的组合体能够解析地模拟或逼近求解区域

2、。l假设上述“单元”由位于单元边界上的节点相互连接在一起，以这些节点位移作为基本未知量。l利用节点未知量，选择一组插值函数唯一地定义每一个单元内相应物理场(位移、应力、应变等)的分布，即选择单元位移模式或单元列式。l将各种类型的载荷变换为只作用在节点上的等效载荷，建立基本未知量与等效节点载荷之间的基本方程。l求解基本方程，得到基本未知量的解答。整个求解区域的未知场函数可由各个单元节点上的数值以及插值函数近似表示。这样一来，在一个问题的有限元分析中，未知场函数的有限个节点值就成为待求全部的未知量，从而使一个连续体的无限自由度问题

3、简化为有限自由度问题。2021-9-142InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第2节弹性力学简介ü弹性力学的研究内容弹性体在外部因素（外力、温度等）作用下而产生的应力和应变，以及与应变有关的位移。2021-9-143InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation[弹性力学假设]弹性力学与我们十分熟悉的材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而

4、应用的范围更广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：v连续性假设v完全弹性假设v均匀性和各向同性假设v小变形、小转动假设v自然状态假设（无初始应力）2021-9-144InstituteofMechanicalEngineeringandAutomationQ基本定律v牛顿定律²动量平衡原理⇨平衡(运动)微分方程²动量矩平衡原理⇨应力张量的对称性²作用与反作用定律⇨t(

5、n)t(n)v几何连续性定律⇨位移和变形的关系(几何方程)⇨位移边界条件v物性定律⇨应力和应变之间的关系(物理方程)2021-9-145ü弹性力学中的物理量1)、基本力学量：ux位移v和ywzxxy应变y和xyzzxxxy应力y和yzzzx2021-9-146[载荷]作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：l表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力

6、，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号、、来表示。l体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。2021-9-147InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation[应力的概念]弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素。•PA=dx,PB=dy,PC=dz•每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴

7、平行•正应力•剪应力图12021-9-148InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation[应力的概念]•正应力为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力σx是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着x轴方向作用的。•剪应力加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力τxy是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。2021-9-149InstituteofMechanicalEngineering

8、andAutomation[应力的概念]应力的正负如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。剪应力互等定律