第15章+逻辑代数及逻辑门电路

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1、第15章逻辑代数及逻辑门电路15.1逻辑代数的基本概念15.2逻辑函数的化简15.3无关项逻辑函数及化简法习题1515.1逻辑代数的基本概念15.1.1基本逻辑关系1.与逻辑与逻辑的演示电路如图15.1所示，只有当开关A、B都闭合时，灯Y才亮，否则灯不亮。则可列出A、B和Y之间的与逻辑关系表15.1。这种表称为逻辑真值表或简称为真值表。与逻辑关系的表达式为Y=A·B图15.1与逻辑演示电路表15.1与逻辑真值表2.或逻辑或逻辑的演示电路如图15.2所示,开关A、B中只要有一个闭合,灯Y就会亮。图15.2或逻辑演示电路表15.2或逻辑真值表或逻辑关系的表达式为Y

2、=A+B3.非逻辑非逻辑的演示电路如图15.3所示,开关A闭合,灯Y就不亮；开关A断开,灯Y就亮。从此例中可抽象出这样的逻辑关系:只要某个条件具备,结果便不会发生;而条件不具备时,结果却一定发生。这种因果关系称为非逻辑，或称为逻辑求反。非逻辑的真值表如表15.3所示。图15.3非逻辑演示电路表15.3非逻辑真值表非逻辑关系的表达式为其中逻辑关系A上方加符号“—”表示非的关系。15.1.2复合逻辑最常见的复合逻辑如下：(1)与非逻辑：逻辑表达式为Y=A·B,逻辑符号如图15.4(a)所示。(2)或非逻辑：逻辑表达式为Y=A+B,逻辑符号如图15.4(b)所示。(

3、3)异或逻辑：逻辑表达式为Y=AB,逻辑符号如图15.4(c)所示。(4)同或逻辑：逻辑表达式为Y=A⊙B，逻辑符号如图15.4(d)所示。(5)与或非逻辑：逻辑表达式为Y=A·B+C·D，逻辑符号如图15.4(e)所示。图15.4常见复合逻辑的逻辑符号15.1.3逻辑代数的基本公式和常用公式1.常量之间的关系0·0=00+0=0;0·1=00+1=1;1·1=11+1=1;0=11=0;2.变量和常量的关系A·1=AA+1=1;A·0=0A+0=A;3.各种定律（1）交换律:A+B=B+A,A·B=B·A;（2）结合律:A+(B+C)=(A+B)+C,A·

4、(B·C)=(A·B)·C;（3）分配律:A+B·C=(A+B)·(A+C),A·（B+C）=A·B+A·C;（4）互非定律:（5）重叠定律(同一定律):A·A=A,A+A=A；（6）反演定律(摩根定律):（7）还原定律:。4.常用导出公式（1）A+A·B=A。证A+A·B=A(1+B)=A·1=A（2）A+·B=A+B。证A+·B=(A+)(A+B)=A+B（用分配律）（3）A·B+A·=A。证A·B+A·=A(B+)=A·1=A（4）A·(A+B)=A。证A·(A+B)=A·A+A·B=A+AB=A(1+B)=A·1=A（5）A·B+·C+B·C=A·B+

5、·C。证A·B+·C+B·C=A·B+·C+BC(A+)=AB+C+ABC+BC;=A·B(1+C)+C(B+1);=A·B+·C;推理证右=AB++BC=AB++BC(D+1)=AB++BCD+BC;=AB++BCD=左在进行逻辑代数的分析和运算时要注意：逻辑代数的运算顺序和普通代数一样，先括号，然后乘，最后加；逻辑乘号可以省略不写；先或后与的运算式，或运算时要加括号，如(A+B)·(C+D)≠A+B·C+D;15.1.4逻辑代数的基本运算规则1.代入规则;在任何一个逻辑等式中，若将等式两边出现的同一变量代之以另一函数,则等式仍成立。例15.1证明:。解根据

6、摩根定律或用B=BC代入原式两边的B中，则有成立。2.反演规则对于任意的Y逻辑式，若将其中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是。例15.2已知Y=A(B+C)+CD，求。解根据反演规则写出例15.3若,求。解根据反演规则写出反演规则为求取已知逻辑式的反逻辑式提供了方便。使用反演规则时要注意以下两点：(1)仍需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算规则。(2)不属于单个变量上的反号应保留不变。3.对偶规则(1)对偶式的概念：对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“·”换成“+”，将“+”换成“

7、·”，将0换成1，将1换成0，可得到一个新的逻辑式Y′，这个Y′就称为Y的对偶式，或者说Y和Y′互为对偶式。例15.4若Y=A·(B+C)，则Y′=A+B·C;若(2)对偶规则：若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。15.2逻辑函数的化简15.2.1逻辑函数及表示方法表示逻辑函数的方法一般有：(1)真值表：(2)函数式：(3)逻辑图：(4)卡诺图：(5)波形图：15.2.2逻辑函数的最小项标准形式在讲述逻辑函数的标准形式之前，先介绍最小项的概念，而后介绍逻辑函数的最小项之和的表达形式。最小项的性质如下：在n变量函数中，若m为包含n个因子的乘积项，且这n个变量

8、均以原变量或反变量的形式在m中出现一次