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1、第6章代数系统6.1代数系统的基本概念6.2二元运算的性质6.3子代数和积代数返回总目录6.1代数系统的基本概念6.1.1运算1.运算的定义定义6.1.1设A是非空集合，从笛卡尔积A×A×…×A到A的映射f称为集合A上的n元运算。简称为n元运算。在定义6.1.1中，当n=1时，f称为集合A上的一元运算；当n=2时，f称为集合A上的二元运算。在讨论抽象运算时，“运算”常记为“*”、“∘”等。设*是二元运算，如果a与b运算得到c，记作a*b=c；若*是一元运算，a的运算结果记作*a或*(a)。第6章代数系统设A=1,a,，其中，a是非零实数。f：A→A，定义为：aA，f(a)=
2、。容易看出f是A上的一元运算。又如，f：N×N→N，定义为：m,nN，f(m,n)=m＋n，f是自然数集合N上的二元运算，它就是普通加法运算。普通减法不是自然数集合N上的二元运算，因为两个自然数相减可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法不是自然数集合N上的二元运算。通过以上讨论可以看出，一个运算是否为集合A上的运算必须满足以下两点：①A中任何元素都可以进行这种运算，且运算的结果是惟一的。②A中任何元素的运算结果都属于A。A中任何元素的运算结果都属于A通常称为运算在A是封闭的。【例6.1】设N为自然数集合，*和∘是N×N到N映射，规定为：m,nN，m∗n=minm,
3、nm∘n=maxm,n则∗和∘是N上的二元运算。【例6.2】设Nk=0,1,…,k-1。Nk上的二元运算+k定义为：对于Nk中的任意两个元素i和j，有称二元运算+k为模k加法。称二元运算×k为模k的乘法。模k加法+k和模k乘法×k是两种重要的二元运算。在N7=0,1,2,3,4,5,6中，有4+72=6，4+75=2。如果把N7中的元素：0，1，2，3，4，5，6分别看作是：星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六。那么4+72=6可解释为：星期四再过两天后是星期六；4+75=2可解释为：星期四再过五天后是星期二。这是模7加法实际意义的一种解释。Nk上的
4、二元运算×k定义为：对于Nk中的任意两个元素i和j，有2.运算的表示表示运算的方法通常有两种：解析公式和运算表。解析公式是指用运算符号和运算对象组成的表达式。如f(a)=，运算表是指运算对象和运算结果构成的二维表。经常使用运算表来定义有限集合上的二元运算，特别当有限集合上的二元运算不能用表达式简明地表示时，借助于运算表来定义二元运算会带来方便。另外，运算表还便于对二元运算的某些性质进行讨论，更形象地了解二元运算的有关特征。设N4=0,1,2,3，N4上的模4加法＋4可以用运算表表示，它的运算表如表6.1所示。N4上的模4乘法×4也可以用运算表表示，它的运算表如表6.2所示。表6
5、.1+4012300123112302230133012表6.2×40123000001012320202303216.1.2代数系统定义6.1.2一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算∗1,∗2,…,∗k所组成的系统称为一个代数系统，记作。根据定义6.1.2，一个代数系统需要满足下面两个条件：①有一个非空集合A。②有一些定义在集合A上的运算。集合和定义在集合A上的运算是一个代数系统的两个要素，缺一不可。【例6.3】设B是一个集合，A=P(B)是A幂集合。集合的求补运算是A上的一元运算，集合的并和交运算是A上的是二元运算。于是构成
6、一个代数系统，该代数系常称为集合代数。【例6.4】设R-0是全体非零实数集合，*是R-0上二元运算，定义为：a,bR-0，a*b=b。则是代数系统。6.2二元运算的性质6.2.1运算的基本性质1.交换律定义6.2.1设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意的a,bA，有a∗b=b∗a，则称二元运算∗在A上是可交换的，也称二元运算*在A上满足交换律。例如，设R为实数集合，对于任意的a,bR，规定a∗b=(a–b)2a∘b=a2+b2a·b=a+b–ab则运算∗、∘和·都是可交换的。2.结合律定义6.2.2设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任
7、意的a,b,cA，有(a*b)*c=a*(b*c)，则称二元运算*在A上是可结合的，也称二元运算∗在A上满足结合律返回章目录实数集合上的普通加法和乘法是二元运算，满足结合律；矩阵的加法和乘法也是二元运算，也满足结合律；向量的内积、外积是二元运算，但不满足结合律。【例6.5】设*是非空集合A上的二元运算，定义为：a,bA，a∗b=b。证明运算*是可结合的。证明：对于任意的a,b,cA，有(a∗b)∗c=c，而a∗(b∗c)=a∗c=c，故有(a∗b)∗c=a∗(
