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1、第三部分代数结构代数结构又名近世代数或抽象代数学，是数学中最重要的、基础的分支之一，是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世纪初，形成于20世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔(N.H.Abel)、法国数学家伽罗瓦(E′.Galois)、英国数学家德·摩根(A.DeMorgan)和布尔(G.Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学家范德瓦尔登(B.L.VanDerWaerden)根据德国数学家诺特(A.E.Noether)和奥地利数学家阿廷(E.Artin)的讲稿，于1930年和19
2、31年分别出版了《近世代数学》一卷和二卷，标志着抽象代数的成熟。1第三部分代数结构代数结构是以研究数字、文字和更一般元素的运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学结构的性质为中心问题。它对现代数学如扑拓学、泛函分析等以及一些其他科学领域，如计算机科学、编码理论等，都有重要影响和广泛地应用。2第三部分代数结构主要内容:代数系统----二元运算及其性质、代数系统和子代数半群与群----半群、独异点、群环与域-----环、整环、域格与布尔代数----格、布尔代数3第九章代数系统主要内容:(1)二元运算
3、及其性质一元和二元运算定义及其实例二元运算的性质(2)代数系统代数系统定义及其实例子代数积代数(3)代数系统的同态与同构49.1二元运算及其性质定义9.1设S为集合，函数f：SSS称为S上的二元运算，简称为二元运算．S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一．S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算封闭．例1(1)自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减法和除法不是．(2)整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算，而除法不是．(3)非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上
4、的二元运算，而加法和减法不是．5实例(4)设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.(5)S为任意集合，则∪、∩、－、为P(S)上二元运算.(6)SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上二元运算.6一元运算的定义与实例定义9.2设S为集合，函数f:S→S称为S上的一元运算，简称一元运算.例2(1)求相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算.(2)在幂集P(S)上规定全集为S，则求绝对补运算~是P(S)上的一元运算.(3)
5、设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，ASS，求一个双射函数的反函数为A上的一元运算.(4)在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求转置矩阵是Mn(R)上的一元运算.7二元与一元运算的表示1．算符可以用◦,∗,·,,,等符号表示二元或一元运算，称为算符.对二元运算◦，如果x与y运算得到z，记做x◦y=z对一元运算,x的运算结果记作x.2．表示二元或一元运算的方法:解析公式和运算表公式表示例设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：x,y∈R,x∗y=x.那么3∗4=3，0.5∗(
6、3)=0.58运算表：表示有穷集上的一元和二元运算运算表二元运算的运算表一元运算的运算表9例3设S=P({a,b})，S上的和∼运算的运算表如下:运算表的实例10二元运算的性质定义9.3设◦为S上的二元运算,(1)若对任意x,y∈S有x◦y=y◦x,则称运算在S上满足交换律.(2)若对任意x,y,z∈S有(x◦y)◦z=x◦(y◦z),则称运算在S上满足结合律.(3)若对任意x∈S有x◦x=x,则称运算在S上满足幂等律.11二元运算的性质定义9.4设◦和∗为S上两个不同的二元运算,(1)若对任意x,y
7、,z∈S有(x∗y)◦z=(x◦z)∗(y◦z)，z◦(x∗y)=(z◦x)∗(z◦y),则称◦运算对∗运算满足分配律.(2)若和∗都可交换,且对任意x,y∈S有x◦(x∗y)=x，x∗(x◦y)=x,则称◦和∗运算满足吸收律.12实例Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，
8、A
9、2.集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+普通乘法有有有有无无Mn(R)矩阵加法+矩阵乘法有无有有无无P(B)并交相对补对称差有
10、有无有有有无有有有无无AA函数复合无有无13集合运算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+与乘法对+可分配+对不分配无Mn(R)矩阵加法+与乘法对+可分配+对不分配无P(B)并与交对可分配对可分配有交与对称差对可分配无实例Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，
11、A
12、2.14特异元素：单位元定义9.5设◦为S上的二元运算,(1)如果存在e
