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《2018-2019版高中数学第一章不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的算术-几何平均不等式试题新人教A版选修4 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.三个正数的算术-几何平均不等式课后篇巩固探究A组1.若a>0,则2a+的最小值为( ) A.2B.3C.1D.3解析2a+=a+a+≥3=3,当且仅当a=,即a=1时,2a+取最小值3.答案D2.设x,y,z∈R+,且x+y+z=6,则lgx+lgy+lgz的取值范围是( )A.(-∞,lg6]B.(-∞,3lg2]C.[lg6,+∞)D.[3lg2,+∞)解析因为x,y,z∈R+,所以6=x+y+z≥3,即xyz≤8,所以lgx+lgy+lgz=lgxyz≤lg8
2、=3lg2(当且仅当x=y=z=2时,等号成立).答案B3.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为( )A.3B.2C.12D.12解析因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时,等号成立.答案C4.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则的最小值为( )A.9B.8C.3D.解析∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴=3+≥3+6=3+6=9.答案
3、A5.用一张钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长×宽的尺寸如各选项所示,单位:m).若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是( )A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×5解析设长方体水箱长、宽、高分别为xm,ym,zm,则xyz=4.水箱的表面积S=xy+2xz+2yz=xy+2x·+2y·=xy+≥3=12.故要制作容积为4m3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为12m2,所以选项A,B排除,而选项C,D均够用,但选项D剩较多,故选项C正确.答案C6
4、.若a,b,c同号,则≥k,则k的取值范围是 . 解析因为a,b,c同号,所以>0,于是≥3=3(当且仅当a=b=c时,等号成立),因此k的取值范围是k≤3.答案k≤37.若x<0,则-x2的最大值为 . 解析-x2=-=-,因为x2+=x2+≥3=3,所以-x2≤-3,即-x2的最大值为-3.答案-38.若a>b>0,则a+的最小值为 . 解析因为a>b>0,所以a-b>0,于是a+=(a-b)+b+≥3=3,当且仅当a-b=b=,即a=2,b=1时,a+的最小值为3.答案39
5、.已知实数a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+的最小值,并求出取最小值时a,b,c的值.解由三个正数的算术-几何平均不等式,得4a+4b+≥3=3(当且仅当a=b=c2时,等号成立).∵a+b+c=1,∴a+b=1-c.则a+b+c2=c2-c+1=,当c=时,a+b+c2取得最小值.从而当a=b=,c=时,4a+4b+取最小值,最小值为3.10.导学号26394008已知x,y均为正数,且x>y,求证2x+≥2y+3.证明因为x>0,y>0,x-y>0,所以2x+-2y=2(x-y)+=(x
6、-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.B组1.若logxy=-2,则x+y的最小值为( )A.B.C.D.解析由logxy=-2得y=,因此x+y=x+≥3.答案A2.设x>0,则f(x)=4-x-的最大值为( )A.4-B.4-C.不存在D.解析∵x>0,∴f(x)=4-x-=4-≤4-3=4-.答案D3.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是( )A.V≥πB.V≤πC.V≥D.V≤解析如图,设圆柱的半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=S·h
7、=πR2·h=π·R·R·h≤π=π,当且仅当R=R=h=1时,等号成立.答案B4.设三角形的三边长为3,4,5,P是三角形内的一点,则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是 . 解析设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x,y,z,三角形的面积为S,则S=(3x+4y+5z).因为32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=×3×4=6,所以3x+4y+5z=2×6=12,所以12=3x+4y+5z≥3=3,所以xyz≤,当且仅当3x=4y=5z,即x=,y=1,z=时,等号
8、成立.答案5.导学号26394009设x,y,z>0,且x+3y+4z=6,求x2y3z的最大值.解因为6=x+3y+4z=+y+y+y+4z≥6=6,所以x2y3z≤1.当且仅当=y=4z,即x=2,y=1,z=时,等号成立,所以x2y3z的最大值为1.6.导学号26394010设a1,a2,…,an为正实数,求证+…+≥2.证明∵a1,a2,…,an为正实数,∴+…+≥n=na1a2…an,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.又n
