鲁京辽2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步1.1.4投影与直观图学案新人教B版必修2

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1、1.1.4　投影与直观图学习目标　理解直观图的斜二测画法规则，会画常见几何体的直观图．知识点　直观图与斜二测画法(1)直观图用来表示空间图形的平面图形．(2)斜二测画法的规则①在已知模型所在的空间中取水平平面，作互相垂直的Ox，Oy轴，再作Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、

2、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．1．用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　×　)2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．(　×　)3．在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变．(　×　)

3、类型一　直观图的画法例1　画出如图水平放置的直角梯形的直观图．解　(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2)．(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)．　　引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，

4、其直观图如何？解　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系．(2)画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．反思与感悟　(1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便．(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形

5、尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．跟踪训练1　(1)用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．解　①如图a所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．②画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝OA＝cm，连接A′B′，A′C′

6、，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图b所示．(2)画一个正四棱锥的直观图(尺寸自定)．解　①画轴．如图c，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°.②画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.③画顶点．在Oz轴上截取OS，使OS等于已知正四棱锥的高．④画棱．连接SA，SB，SC，SD，擦去辅助线(坐标轴)，得到正四棱锥S－ABCD的直观图，如图d所示．类型二　直观图的还原与计算命题角度1　由直观图还原平面图形例2　如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测

7、直观图，将其还原成平面图形．解　①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．反思与感悟　由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．跟踪训练2　如图所示，矩形O

8、′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则原图形是________形．答案　菱解析　如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝