陕西省石泉县高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法（1）教案 北师大版选修2-2

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1、4数学归纳法(1)课标要求使学生了解归纳法,理解数学归纳的原理与实质三维目标（1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。学情分析数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数

2、的情形。教学重难点【教学重点】：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。【教学难点】：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。提炼的课题如何理解数学归纳法证题的有效性教学手段运用教学资源选择多媒体辅助课堂教学教学过程环节学生要解决的问题或任务教师教与学生学设计意图一、提出问题二、问题1：考察部分对象，得到一般结论的方法，叫做不完全归纳法。不完全归纳法得到的结论不一定正确。举2个小例子说明不完全归纳法不一定正确。例如

3、：小明的爸爸有3个儿子，老大说：“我叫1毛”，老二说：“我叫2毛”，老三说————？问题2：请大家回忆，课本是如何得出等差数列的通项公式的？问题4：很多时候用完全归纳法证明结论是否正确是不合适的，我们借助不完全归纳法去发现或猜想结论，那么如何解决不完全归纳法存在的问题呢？（只有经过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的。）1由多米诺骨牌引入数学归纳法问题3：对于数列{an}，已知（n=1,2,……），求出，我们猜想其通项公式为。这个结论正确吗？生：讨论、交流。给出问题3的数学归纳法的证明，将每一步骤标号。引导学生总结出数学归纳法的证题思

4、路和步骤。数列{an}中，已知（n=1,2,……），则猜想其通项公式为。证明：（1）当n=1时，猜想式成立（2）假设当n=k时猜想成立，即，那么当n=k+1时，根据已知及假设，所以即当n=k+1时猜想也成立。由（1）（2）可以断定，等式对一切n∈N*都成立强调:要用到归纳假设；列出证明n=k+1成立时的目标明确数学归纳法的通过实际例子了解不完全归纳法与完全归纳法的概念复习回顾提出问题，引发思考通过此例引导学生总结数学归纳法的证题步骤。详细的板书推导利于学生总结归纳出数学归纳法的证题步骤及更进一步地理解原理数学归纳法原理提出两个问题：若第一块

5、不倒，出现什么情况？若中间某块倒下，不能使其下一块倒下，出现什么情况？所以多米诺骨牌游戏能进行下去要满足两个条件。（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。2．参照多米诺骨牌的原理，我们设想：在证明某些与正整数有关问题时，先证明当n取第一个值n0(例如n0=1或2)时，命题成立（即骨牌的第一块能倒），然后假设只要由n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，就能推出n=k+1时命题也成立（即只要某一块倒下，就能使其下一块也倒下），那么就证明这个命题成立（所有骨牌都能倒下）。我们称这种证明方法叫做数学归纳法。（

6、严谨，一而二，二而三，……以至无穷）数学归纳法的适用范围、原理“起动步骤”和“递推步骤”这“两个步骤”以及“一个结论”。用数学归纳法证明命题的具体步骤是：(1)（归纳奠基）证明当n取第一值n0(例如n0=1，n0=2等)时命题成立；(2)（归纳递推）假设n=k(k∈N*且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对从n0开始的所有的自然数n都正确。培养学生的归纳能力培养阅读习惯强调：（1）上面的证明第一步是递推基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可。（2）第一步要证明，n=k+1时也要证明，且

7、过程中一定要用到假设。阅读课本：P16